untere Schranke Supremum < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Fr 20.09.2013 | | Autor: | kalor |
Hallo!
Ich habe folgendes Problem resp. Ungleichung und ich weiss nicht genau, wieso sie stimmt. Sei [mm] $c_n:=\sup_{Q \in H_n}E_Q[-X]$, [/mm] wobei [mm] $H_n$ [/mm] eine Menge von Wahrscheinlichkeitsmassen ist und $X$ eine Zufallsvariable, so dass [mm] $E_Q[-X]$ [/mm] wohldefiniert ist für alle [mm] $Q\in H_n$. [/mm] Ich weiss, dass für genügend grosse $n$ folgendes gilt
$-a [mm] \le c_n$ [/mm]
für $a>0$.
Es soll folgendes gelten: Es gitb ein [mm] $Q\in H_n$ [/mm] für $n$ genügend gross s.d.
1. [mm] $c_n\le \frac{1}{n} [/mm] + [mm] E_Q[-X]$ [/mm] (das ist klar, hier wird einfach Supremumseigenschaft verwendet
2. [mm] $E_Q[X]\le [/mm] a$
Wieso gilt 2. und wieso kann ich so ein Wahrscheinlichkeitsmass finden, dass 1. und 2. erfüllt? Schon jetzt, danke für die Erklärung :)
greetz
kaloR
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Fr 20.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo kalor,
die Behauptung stimmt in dieser Allgemeinheit gar nicht. Wenn du möchtest, kann ich dir ein Gegenbeispiel nennen.
Ich vermute aber, dass du die Behauptung einem Beweis entnimmst, in dem noch mehr über die [mm] $H_n$ [/mm] bekannt ist. Poste am Besten den Kontext!
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Sa 21.09.2013 | | Autor: | kalor |
Hallo tobi
Hm...das ganze kommt von hier auf Seite 12, Gleichung (3.14). (3.15) ist mir klar, da dort einfach die Eigenschaft des Supremums ausgenützt wird. Wieso stimmt aber (3.14)?
Dankeschön für die Hilfe!
kALoR
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Sa 21.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo kalor,
danke für die Einordnung! Leider überschreitet das Paper das Niveau, auf dem ich mich in der Lage sehe, mit angemessenem Aufwand Fragen zu beantworten. Tut mir leid!
Viele Grüße
Tobias
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Hallo,
ich glaube, der Übergang ist elementare Analysis, vielleicht etwas unsauber hingeschrieben.
Du hast siehe Def. unter (3.12) für $n [mm] \ge [/mm] N$ (wobei $N$ so groß dass die erste Ungleichung $-1 [mm] \le \beta_n$ [/mm] erfüllt ist):
$-1 < [mm] \beta_n [/mm] = [mm] \sup_{Q} E_{Q}\left(G(S) - \sqrt{n}*SUM(n)\right)$.
[/mm]
Nun auf der rechten Seite abschätzen:
[mm] $\le \sup_{Q} E_{Q} [/mm] G(S) - [mm] \sqrt{n}*\inf_{Q} E_{Q} [/mm] SUM(n)$.
Gesamte Ungleichung umformen:
[mm] $\frac{1 + \sup_{Q} E_{Q} G(S)}{\sqrt{n}} [/mm] > [mm] \inf_{Q} E_{Q} [/mm] SUM(n)$.
Nun benutzt du die Def. des Infimums. Daher muss es ein [mm] $Q_n$ [/mm] geben mit
[mm] $\frac{1 + \sup_{Q} E_{Q} G(S)}{\sqrt{n}} [/mm] > [mm] E_{Q_n} [/mm] SUM(n)$.
Viele Grüße,
Stefan
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