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| Aufgabe | a)
Welche der folgenden Abbildungen definieren eine Norm?(Es bezeichnet C([0,1]) den Vektorraum der stetigen Funktionen auf dem Intervall [mm] [0,1]\subset\IR.)
[/mm]
i) [mm] \parallel.\parallel [/mm] : [mm] C([0,1])\to \IR, \parallel f\parallel=max\{|f(x)|,x\in[0,1]\},
[/mm]
ii) [mm] \parallel .\parallel [/mm] : [mm] \IC^2\to\IR, \parallel z\parallel=|z_{1}|^3+|z_{2}|^3
[/mm]
b)
Sei A darstellende Matrix einer Bilinearform [mm] \beta [/mm] auf einem endlich-dimensionalen [mm] \IK-Vektorraum [/mm] V. Zeigen Sie,dass [mm] \beta [/mm] genau dann nicht entartet ist, wenn [mm] det(A)\not=0 [/mm] gilt. |
hallo,
wir hatten in der vorlesung eine norm auf V definiert als
[mm] \parallel .\parallel [/mm] : V [mm] \to [0,\infty), v\mapsto\parallel v\parallel
[/mm]
mit den Eigenschaften
N1) Für [mm] v\in [/mm] V gilt genau dann [mm] \parallel v\parallel [/mm] =0, wenn v=0
N2) [mm] \parallel\lambda v\parallel=|\lambda|*\parallel v\parallel [/mm] für alle [mm] v\in [/mm] V, [mm] \lambda \in \IK
[/mm]
N3) [mm] \parallel v+w\parallel \le \parallel v\parallel [/mm] + [mm] \parallel w\parallel [/mm] für alle v,w [mm] \in [/mm] V
Muss zunächst für i) und ii) diese Eigenschaften gezeigt werden?
Ist das die Art und Weise wie ich die Aufgabe angehen muss?
und wie gehe ich in aufgabenteil b) vor? Könnt ihr mir einen Tipp geben?
vielen dank!
richard
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Do 22.04.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
> a)
> Welche der folgenden Abbildungen definieren eine Norm?(Es
> bezeichnet C([0,1]) den Vektorraum der stetigen Funktionen
> auf dem Intervall [mm][0,1]\subset\IR.)[/mm]
>
> i) [mm]\parallel.\parallel[/mm] : [mm]C([0,1])\to \IR, \parallel f\parallel=max\{|f(x)|,x\in[0,1]\},[/mm]
>
> ii) [mm]\parallel .\parallel[/mm] : [mm]\IC^2\to\IR, \parallel z\parallel=|z_{1}|^3+|z_{2}|^3[/mm]
>
> b)
> Sei A darstellende Matrix einer Bilinearform [mm]\beta[/mm] auf
> einem endlich-dimensionalen [mm]\IK-Vektorraum[/mm] V. Zeigen
> Sie,dass [mm]\beta[/mm] genau dann nicht entartet ist, wenn
> [mm]det(A)\not=0[/mm] gilt.
> hallo,
>
> wir hatten in der vorlesung eine norm auf V definiert als
>
> [mm]\parallel .\parallel[/mm] : V [mm]\to [0,\infty), v\mapsto\parallel v\parallel[/mm]
>
> mit den Eigenschaften
>
> N1) Für [mm]v\in[/mm] V gilt genau dann [mm]\parallel v\parallel[/mm] =0,
> wenn v=0
> N2) [mm]\parallel\lambda v\parallel=|\lambda|*\parallel v\parallel[/mm]
> für alle [mm]v\in[/mm] V, [mm]\lambda \in \IK[/mm]
> N3) [mm]\parallel v+w\parallel \le \parallel v\parallel[/mm]
> + [mm]\parallel w\parallel[/mm] für alle v,w [mm]\in[/mm] V
>
>
> Muss zunächst für i) und ii) diese Eigenschaften gezeigt
> werden?
> Ist das die Art und Weise wie ich die Aufgabe angehen
> muss?
Du musst einfach alle 3 Bedingungen überprüfen, die Reihenfolge ist dabei natürlich egal.
>
> und wie gehe ich in aufgabenteil b) vor? Könnt ihr mir
> einen Tipp geben?
Wie sieht denn die darstellende Matrix einer Bilinearform aus?
Was bedeutet es, dass eine Bilinearform nicht ausgeartet ist?
Je nach eurer Definition ist der Beweis mehr oder weniger leicht. Läuft die Definition schon über die darstellende Matrix, musst du bloß in Erinnerung rufen was du über Determinanten von Matrizen schon gelernt hast.
>
> vielen dank!
>
> richard
Gruß,
Doing
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