unitäre Matrix < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:22 Mo 20.06.2011 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Sind die folgenden Matrizen diagonalisierbar durch eine unitäre matrix? Begründen Sie Ihre Antwort.
[mm] A=\pmat{ 4 & i&-1 \\ 0&3 & i\\5i&0&-2 }
[/mm]
Hinweis: Überprüfen Sie, ob diese Matrizen normal sind. |
Also ich habe mich jetzt mal schlau gemacht, was es heißt wenn eine matrix normal ist:
Das heißt wenn das Produkt aus Matrix A und deren komplex transponierte matrix vertauschbar ist.
Aber ich weiß nicht wie ich das überprüfen kann also was heißt ihre KOMPLEX transponierte Matrix??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
du musst testen, ob die Matrix mit ihrer Adjungierten kommutiert. Dann kannst du den Spektralsatz anwenden.
![[]](/images/popup.gif) Adjungierte Matrix.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Mo 20.06.2011 | | Autor: | sissenge |
Ich hab mir das auf Wiki durchgelesen aber ich versteh nicht wie ich das überprüfen kann....muss ich einfach [mm] A*x=A^H*x
[/mm]
setzten und dann versuchen das Gleichungssystem zu lösen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:06 Mo 20.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Gegeben A.
Jetzt konjugiere jeden Eintrag in A. Dies liefert Dir eine Matrix B. Nun berechne [mm] B^T. [/mm] Dann ist
[mm] A^H=B^T.
[/mm]
Jetzt berechne [mm] $A*A^H$ [/mm] und dann [mm] $A^H*A$
[/mm]
Gilt [mm] $A*A^H=A^H*A$, [/mm] so ist A normal.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Mo 20.06.2011 | | Autor: | sissenge |
Jetzt steht bei mir in der Angabe: [...] diagonalisierbar durch eine unitäre Matrix, d.h. existiert [mm] U\in [/mm] U(n) mit UAU^-1 [mm] \in [/mm] Mat(n,C) diagonal? Begründen Sie Ihre Antwort.
Kann ich das dann trotzdem so rechnen, wie ihr mir das vorgeschlagen habt oder sollte ich das dann lieber anders machen?
Zur a) [mm] A=\pmat{4&i&-1\\0&3&i\\5i&0&-2} [/mm]
[mm] B=\pmat{4&-i&-1\\0&3&-i\\-5i&0&-2}
[/mm]
[mm] B^T=\pmat{4&0&-5i\\-i&3&0\\-1&-i&-2}
[/mm]
[mm] A*A^H=\pmat{18&4i&2-20i\\-4i&10&-2i\\2+20i&2i&29}
[/mm]
[mm] A^H*A=\pmat{41&4i&-4+10i\\-4i&10&4i\\-4-10i&-4i&6}
[/mm]
Wenn die Ergebnisse stimmen, dann ist A nicht diagonalisierbar duch eine unitäre Matrix?
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Hallo sissenge,
> Jetzt steht bei mir in der Angabe: [...] diagonalisierbar
> durch eine unitäre Matrix, d.h. existiert [mm]U\in[/mm] U(n) mit
> UAU^-1 [mm]\in[/mm] Mat(n,C) diagonal? Begründen Sie Ihre Antwort.
>
> Kann ich das dann trotzdem so rechnen, wie ihr mir das
> vorgeschlagen habt oder sollte ich das dann lieber anders
> machen?
>
> Zur a) [mm]A=\pmat{4&i&-1\\0&3&i\\5i&0&-2}[/mm]
> [mm]B=\pmat{4&-i&-1\\0&3&-i\\-5i&0&-2}[/mm]
> [mm]B^T=\pmat{4&0&-5i\\-i&3&0\\-1&-i&-2}[/mm]
>
> [mm]A*A^H=\pmat{18&4i&2-20i\\-4i&10&-2i\\2+20i&2i&29}[/mm]
> [mm]A^H*A=\pmat{41&4i&-4+10i\\-4i&10&4i\\-4-10i&-4i&6}[/mm]
>
> Wenn die Ergebnisse stimmen, dann ist A nicht
> diagonalisierbar duch eine unitäre Matrix?
Die Ergebnisse und die Folgerung stimmen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Mo 20.06.2011 | | Autor: | sissenge |
Was mach ich aber, wenn ich eine matrix ohne i habe also eine nicht komplexe matrix? dann kann ich die ja nicht konjugieren.
[mm] A=\pmat{0&\bruch{1}{\wurzel{3}}&\bruch{2}{\wurzel{6}}\\\bruch{1}{\wurzel{2}}&\bruch{1}{\wurzel{3}}&\bruch{-1}{\wurzel{6}}\\\bruch{1}{\wurzel{2}}&\bruch{-1}{\wurzel{3}}&\bruch{1}{\wurzel{6}}}
[/mm]
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> Was mach ich aber, wenn ich eine matrix ohne i habe also
> eine nicht komplexe matrix? dann kann ich die ja nicht
> konjugieren.
Hallo,
doch, die Matrix kannst Du auch konjugieren - sie bleibt halt genauso.
Gruß v. Angela
>
> [mm]A=\pmat{0&\bruch{1}{\wurzel{3}}&\bruch{2}{\wurzel{6}}\\
\bruch{1}{\wurzel{2}}&\bruch{1}{\wurzel{3}}&\bruch{-1}{\wurzel{6}}\\
\bruch{1}{\wurzel{2}}&\bruch{-1}{\wurzel{3}}&\bruch{1}{\wurzel{6}}}[/mm]
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