unitäre Matrix, < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Di 24.06.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in U(n,\IC) [/mm] und k [mm] \in \IN. [/mm] Zeige:
- es gibt ein B [mm] \in U(n,\IC) [/mm] mit [mm] B^k [/mm] = A
- gleiches gilt für A, [mm] B_1^k \in SU(n,\IC) [/mm] : [mm] B_1^k=A [/mm] |
Hallo zusammen,
also mein Ansatz hier wär:
A ist unitär, also auch normal, laut dem Spektralsatz diagonalisierbar, genau so wie auch B. Nur jetzt weiß ich nicht wie ich die Beziehung mit dem k [mm] \in \IN [/mm] reinbringen kann -.- bei dem zweiten teil kommt ja nur die Bedingung hinzu, dass det(A)=det(B)=1, aber würde das an der rechnung dann ändern?
danke schonmal im voraus!! :)
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Di 24.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich bin nicht im Bilde ob Ihr folgendes hattet:
" ist A unitär, so ist A = [mm] e^{iH} [/mm] mit einer hermiteschen Matrix H"
Ist nun k in N , so setze B = [mm] e^{(iH)/k}.
[/mm]
Dann ist B unitär und [mm] B^k [/mm] = A
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Di 24.06.2008 | | Autor: | eumel |
hallo fred97,
so einen satz hatten wir meines wissens nicht/noch nicht.
wo kann ich denn einen beweis davon finden? hab zwar versucht nach zu googeln aber der zeigt mir immer das falsche an ^^
würde es auch anders gehen als über die methode A = e^(i*H) ?
gruß
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Es gibt eine Lösung mit anderen Mitteln:
[mm] \lambda_1 [/mm] , ... , [mm] \lambda_n [/mm] sind die Eigenwerte von A. Sagen wir mal D sei eine Diagonalmatrix mit [mm] \wurzel[k]{\lambda_1} [/mm] , ... , [mm] \wurzel[k]{\lambda_n} [/mm] auf der Diagonalen und B sei ähnlich zu D. Jetzt gilt natürlich:
[mm] \exists [/mm] S [mm] \in [/mm] U(n, [mm] \IC) [/mm] : [mm] S^{-1} D^k [/mm] S = A = [mm] B^k [/mm] daraus folgt jetzt die Existenz. Für A [mm] \in SU(n,\IC) [/mm] ändert sich daran im Prinzip nichts...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:51 Do 26.06.2008 | | Autor: | eumel |
joo krass, danke ^^
wär ma cool wenn de mir die transformationen beibringen könntest, kann die net xD
thx a lot
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Sa 28.06.2008 | | Autor: | michivbs |
Meinst du die Sache mit S^-1 A S = A' , wenn A ähnlich A' ? Damit wechselst du halt die Basis deiner Matrix A und erhältst A'. Dabei ist S (aufgefasst als Abbildung von [mm] K^n \to K^n [/mm] ) dann ein Isomorphismus. [mm] S^{-1} [/mm] A S ist dabei eine Abbildung die jeden Vektor bzgl. der Basis von A auf den Entsprechenden Vektor bzgl. der Basis von A' abbildet. Das hat damit zu tun, dass ein Endomorphismus durch die Bilder seiner Basisvektoren eindeutig bestimmt ist. S bildet nun die [mm] e_1 [/mm] , ... , [mm] e_n [/mm] auf [mm] b_1 [/mm] , ... , [mm] b_n [/mm] (Basisvektoren von A') ab, hat als Spalten also immer die Basisvektoren der Basis von A'. (Gilt auch wenn A nicht bzgl. der kanonischen Basis dargestellt ist)
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