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Forum "Analysis-Sonstiges" - ungleichung zeigen
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ungleichung zeigen: idee, klappt aber nicht
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 Di 22.01.2008
Autor: mathemonster

Aufgabe
zeige, das folgende ungleichung stimmt.a,b sind aus R+

[mm] \bruch{a^2}{b}+\bruch{b^2}{a}\ge\a+b+a [/mm]

zunächst habe ich versucht die linke seite auf einen brch zubringen, in dem ich mit a,b durchmultipliziert habe und noch einige weitere umformungen angestellt hat edoch zu keinem ergebnis geführt.
die 2te idee war mit (a+b)zu multipliieren um irgendwie auf eine bin.formel zu kommen und zu zeigen, dass diese größer null ist, führte aber auch in ne sackgasse:-(
meine dritte idee war alles auf den ausdrtuck [mm] (a+b)^3 [/mm] zu bringen und zeigen das das größer null war. nur ich komme nicht auf den ausrduck ohne einen unschönene "rest" übrig zu haben, der alles "kaputt" macht.
vielleciht kann man das auch durch fallunterscheidung zeigen, aber ich habe noch keine sinnvollen unterscheidungen gefunden.
wäre toll wenn mir dabei einer helfen könnte. danke schon mal im voraus

        
Bezug
ungleichung zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Di 22.01.2008
Autor: M.Rex

Hallo

> zeige, das folgende ungleichung stimmt.a,b sind aus R+
>  
> [mm]\bruch{a^2}{b}+\bruch{b^2}{a}\ge\a+b+a[/mm]
>  zunächst habe ich versucht die linke seite auf einen brch
> zubringen, in dem ich mit a,b durchmultipliziert habe

Das ist doch schonmal gar nicht schlecht.

[mm] \bruch{a^2}{b}+\bruch{b^2}{a}\ge{a+b} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{a^2*a}{ba}+\bruch{b^2*b}{ab}\ge{a+b} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{a³+b³}{ba}\ge{a+b} [/mm]
[mm] \gdw a^{3}+b^{3}\ge(a+b)ab [/mm]  (Warum dreht ich das [mm] \ge-zeichen [/mm] hier nicht?)
[mm] \gdw a^{3}+b^{3}\ge a^{2}b+b^{2}a [/mm]

Jetzt betrachte mal die beiden Fälle a=b und [mm] a\ne{b}, [/mm] also nimm an, dass a>b.

Marius

Bezug
                
Bezug
ungleichung zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 Di 22.01.2008
Autor: mathemonster

diese idee hatte ich auch schon, das problem ist nur a ungleich b klappt nicht(a=b is klar), wenn a größer ist als b. dann kann ich ja sagen: [mm] a^3 [/mm] ist größer [mm] (a^2)b [/mm] aber ich kann nicht definitiv sagen, dass [mm] b^3 [/mm] größer ist als [mm] (b^2)a. [/mm] weil b*b*b könnte ja immer noch kleiner sein als b*b*a( wir wissen ja nicht wie viel größer a als b ist)
oder is da in meinem  gedankengang irgendein fehler. wäre an sich gut, weil dann hätte ich die aufgabe ja gelöst(mit deiner hilfe)

Bezug
                        
Bezug
ungleichung zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 Di 22.01.2008
Autor: pelzig

Wenn $a>b$ ist, kannst du $a$ auch schreiben als $b+h$ für ein $h>0$...

Bezug
                                
Bezug
ungleichung zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:07 Di 22.01.2008
Autor: mathemonster

super, danke jetzt hab ich die aufgabe gelöst:-)))))))

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