ungerade Anzahl von Teiler < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 So 24.10.2010 | | Autor: | oby |
| Aufgabe | Zeige, dass eine Zahl $ n [mm] \in \IN [/mm] $ genau dann eine ungerade Anzahl von Teilern
besitzt, wenn $ [mm] \wurzel{n} [/mm] $eine naturliche Zahl ist. |
Hallo Matheraum.
Ich habe bereits eine Richtung zeigen können, und zwar dass aus wenn $ n $ eine Quadratzahl ist, dann ist die Anzahl der Teiler ungerade. Dies habe ich über die Primzaktorzerlegung hingekriegt, also mal so ne allgemeine Primfaktorzerlegung von $ [mm] \wurzel{n} [/mm] $ hingeschrieben, dann kommt in der Primfaktorzerlegung von $ n $ jeweils ein gerader Exponent vor. Also so:
$ n = [mm] p_1^{2e_1}p_2^{2e_2} [/mm] ... [mm] p_m^{2e_m} [/mm] $
Dann ist die Anzahl der Teiler gerade $ [mm] \produkt_{i=1}^{m} (2e_i+1) [/mm] $ , da ich die Teiler dadurch bestimme, dass ich jeweils einen Exponenten $ [mm] t_i [/mm] $ zwischen 0 und [mm] $e_i$ [/mm] auswählen kann . Und das ist immer ungerade, weil das Produkt ungerader Zahle immer ungerade ist.
So nun zur umgekehrten Richtung:
Habs auch erst irgendwie über Primfaktorzerlegung versucht, dann hab ichs mal mit Induktion nach Anzahl der Teiler versucht, aber beides hat nicht gefruchtet...
Vielleicht habt ihr eine gute Idee ?? Sollte eigentlich nicht so schwierig sein, weil die Aufgabe nur zwei Punkte bringt... Vielleicht könntet ihr mir auch meine gezeigte Richtung kurz bestätigen (oder vielleicht hab ich ja einen Denkfehler drin. Das kommt bei mir oft mal vor. :) ).
Danke schon mal,
Oby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 So 24.10.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo Oby
Ein kleiner Tipp: Man kann Teiler immer paarweise bilden. Ist k ein Teiler von n, dann ist auch [mm] $\frac [/mm] nk$ ein Teiler. Besitzt die Zahl also eine ungerade Anzahl von Teilern, dann muss dass "mittlere Paar" aus nur eine Zahl bestehen. Was folgt dann daraus fuer n?
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 So 24.10.2010 | | Autor: | oby |
Hallo,
Achso, Danke- so schwer war's ja gar nicht.. Aber auf die Idee musste man halt kommen, also vielen Dank!
Schönen Abend noch!
Oby
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