unendliche p Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Fr 13.11.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es sei p eine Primzahl. Finden Sie eine unendliche p Gruppe. Falls Sie sich ein wenig mit Kardinalzahlen auskennen, wollen Sie vlt. gleich unendlich viele paarweise nicht isomorphe unendliche p-Gruppen konstruieren.
Definition:
Sei p eine Primzahl. Eine Gruppe G heißt p-Gruppe, wenn die Ordnung jedes Element von G eine Potenz von p ist, d.h. [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G: [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \mathbb{Z}, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 0: [mm] ord(a)=p^n [/mm] |
Hallo,
[mm] K:=\{\frac{a}{p^n} | a,n \in \mathbb{Z} \wedge n \ge 0\}
[/mm]
Ich habe gezeigt K [mm] \le (\mathbb{Q},+), \mathbb{Z} \subseteq [/mm] K und das [mm] K/\mathbb{Z} [/mm] eine p Gruppe ist(alle Elemente der Gruppe haben Primzahlordnung)
Frage 1: Die Gruppe [mm] K/\mathbb{Z} [/mm] ist offensichtlich unendlich. Muss man das aber auch irgendwie noch zeigen? Q ist ja z.B nicht mal endlich erzeugt. Ist Gruppe [mm] K/\mathbb{Z} [/mm] endlich erzeugt?
Frage 2: Ich verstehe den Hinweis nicht. Kenne mich auch nur etwas mit Ordinalzahlenraum in der Topologie aus. Könnte mir wer erklären auf welche Gruppen der Fragesteller hinweist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Fr 13.11.2015 | | Autor: | hippias |
Zur 1. Frage: Da eine unendliche Gruppe gesucht ist, würde ich es direkt beweisen.
Ob [mm] $K/\IZ$ [/mm] endlich erzeugt ist, ist eine schöne Frage. Nimm mal an, sie sei es. Wie stellst Du die Elemente der Menge [mm] $\{\frac{1}{p^{n}}|n\in \IN\}$ [/mm] dar?
Zur 2. Frage: Er hat vielleicht an Vektorräume über $GF(p)$ gedacht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Fr 13.11.2015 | | Autor: | sissile |
Danke für deine Antwort.
Ist es ein Umweg zuzeigen, dass K/Z nicht endlich erzeugt wird um zuzeigen, dass K/Z unendlicher Ordnung ist? Ein Isomorphismus zu den natürlichen Zahlen wäre mir nämlich auf die Schnelle nicht eingefallen.
Eine Idee war nur (K/Z) [mm] \rightarrow \{e^\frac{2\pi i a}{p^n}| a,n \in \mathbb{Z}, n \ge 0\} [/mm] mit [mm] \frac{a}{p^n} [/mm] + [mm] \matbb{Z} \mapsto e^\frac{2\pi i a}{p^n} [/mm] aber ich weiß ja so über die Ordnung auch nicht mehr.
> Ob $ [mm] K/\IZ [/mm] $ endlich erzeugt ist, ist eine schöne Frage. Nimm mal an, sie sei es. Wie stellst Du die Elemente der Menge $ [mm] \{\frac{1}{p^{n}}|n\in \IN\} [/mm] $ dar?
Angenommen K/Z endlich erzeugt, so [mm] \exists a_1,..,a_m, n_1,..,n_m \in \mathbb{Z} [/mm] und [mm] n_1,..,n_m [/mm] >0 : [mm] K/Z=<\frac{a_1}{p^{n_1}}+\mathbb{Z},..,\frac{a_m}{p^{n_m}}+\mathbb{Z}>
[/mm]
Wenn man einen Nenner [mm] P=p^{n_{1}+..+n_{m}+1} [/mm] hernimmt, dann gehört [mm] \frac{1}{P} [/mm] zu K, also [mm] [\frac{1}{P}]=1/P [/mm] + [mm] \mathbb{Z} \in K/\mathbb{Z}
[/mm]
Behauptung: [mm] [\frac{1}{P}] \not\in <\frac{a_1}{p^{n_1}}+\mathbb{Z},..,\frac{a_m}{p^{n_m}}+\mathbb{Z}>
[/mm]
Intuitiv ist mir die Behauptung klar wenn ich rationale Zahlen multipliziere aber ein so richtig stichfester Beweis fehlt mir. Hast du noch einen Tipp?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 Sa 14.11.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke für deine Antwort.
> Ist es ein Umweg zuzeigen, dass K/Z nicht endlich erzeugt
> wird um zuzeigen, dass K/Z unendlicher Ordnung ist?
Ja. Aber es geht auch einfacher.
> Ein
> Isomorphismus zu den natürlichen Zahlen wäre mir nämlich
> auf die Schnelle nicht eingefallen.
Es reicht aus, eine Injektion [mm] $\IN \to [/mm] K/Z$ anzugeben.
> Eine Idee war nur (K/Z) [mm]\rightarrow \{e^\frac{2\pi i a}{p^n}| a,n \in \mathbb{Z}, n \ge 0\}[/mm]
> mit [mm]\frac{a}{p^n}[/mm] + [mm]\matbb{Z} \mapsto e^\frac{2\pi i a}{p^n}[/mm]
> aber ich weiß ja so über die Ordnung auch nicht mehr.
Es reicht aus zu zeigen, dass es unendlich viele Elemente da drinnen gibt. Dazu reicht es aus, z.B. die Bilder von [mm] $\{ 1/p^n \mid n \in \IN \}$ [/mm] anzuschauen und sich davon zu überzeugen, dass sie alle paarweise verschieden sind.
> > Ob [mm]K/\IZ[/mm] endlich erzeugt ist, ist eine schöne Frage. Nimm
> > mal an, sie sei es. Wie stellst Du die Elemente der Menge
> > [mm]\{\frac{1}{p^{n}}|n\in \IN\}[/mm] dar?
>
> Angenommen K/Z endlich erzeugt, so [mm]\exists a_1,..,a_m, n_1,..,n_m \in \mathbb{Z}[/mm]
> und [mm]n_1,..,n_m[/mm] >0 :
> [mm]K/Z=<\frac{a_1}{p^{n_1}}+\mathbb{Z},..,\frac{a_m}{p^{n_m}}+\mathbb{Z}>[/mm]
> Wenn man einen Nenner [mm]P=p^{n_{1}+..+n_{m}+1}[/mm] hernimmt,
> dann gehört [mm]\frac{1}{P}[/mm] zu K, also [mm][\frac{1}{P}]=1/P[/mm] +
> [mm]\mathbb{Z} \in K/\mathbb{Z}[/mm]
> Behauptung: [mm][\frac{1}{P}] \not\in <\frac{a_1}{p^{n_1}}+\mathbb{Z},..,\frac{a_m}{p^{n_m}}+\mathbb{Z}>[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Intuitiv ist mir die Behauptung klar wenn ich rationale
> Zahlen multipliziere aber ein so richtig stichfester Beweis
> fehlt mir. Hast du noch einen Tipp?
Überlege dir, dass das Erzeugnis [mm] $\langle \frac{a_1}{p^{n_1}}+\mathbb{Z},..,\frac{a_m}{p^{n_m}}+\mathbb{Z} \rangle$ [/mm] komplett in [mm] $\langle \frac{1}{p^{n_1+\dots+n_m}} [/mm] + [mm] \IZ \rangle$ [/mm] enthalten ist, und dass [mm] $\frac{1}{p^{n_1+\dots+n_m+1}}$ [/mm] in dieser Menge nicht drinnen liegt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Sa 14.11.2015 | | Autor: | sissile |
> Es reicht aus, eine Injektion [mm]\IN \to K/Z[/mm] anzugeben.
>
> > Eine Idee war nur (K/Z) [mm]\rightarrow \{e^\frac{2\pi i a}{p^n}| a,n \in \mathbb{Z}, n \ge 0\}[/mm]
> > mit [mm]\frac{a}{p^n}[/mm] + [mm]\matbb{Z} \mapsto e^\frac{2\pi i a}{p^n}[/mm]
> > aber ich weiß ja so über die Ordnung auch nicht mehr.
>
> Es reicht aus zu zeigen, dass es unendlich viele Elemente
> da drinnen gibt. Dazu reicht es aus, z.B. die Bilder von [mm]\{ 1/p^n \mid n \in \IN \}[/mm]
> anzuschauen und sich davon zu überzeugen, dass sie alle
> paarweise verschieden sind.
meinst du die projektionsabbildung wenn du von Bildern redest?
Seien [mm] n_1, n_2 \in \mathbb{N}_{>0}
[/mm]
Sei [mm] n_1\not= n_2, [/mm] also oBdA. [mm] n_2>n_1
[/mm]
Sei [mm] \frac{1}{p^{n_1}} [/mm] + [mm] \mathbb{Z} =\frac{1}{p^{n_2}} [/mm] + [mm] \mathbb{Z} [/mm]
d.h. [mm] \frac{p^{n_2}-p^{n_1}}{p^{n_1+n_2}} \in \mathbb{Z}
[/mm]
d.h. [mm] p^{n_1+n_2} [/mm] teilt [mm] p^{n_2} [/mm] - [mm] p^{n_1}
[/mm]
Nach zahlentheorie gilt [mm] |p^{n_1+n_2}|\le|p^{n_2} [/mm] - [mm] p^{n_1}| [/mm] oder [mm] p^{n_2} [/mm] - [mm] p^{n_1}=0
[/mm]
Nach Voraussetzung [mm] n_2 >n_1 [/mm] ist die Ungleichung falsch, demnach [mm] p^{n_2} [/mm] - [mm] p^{n_1}=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow p^{n_2}=p^{n_1} \Rightarrow n_2=n_1 [/mm] Widerspruch zur Voraussetzung.
Daraus folgt K/Z hat unendliche Ordnung.
Ist das so okay?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Sa 21.11.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
Sorry das ich vergessen hab eher zu antworten...
> > Es reicht aus, eine Injektion [mm]\IN \to K/Z[/mm] anzugeben.
> >
> > > Eine Idee war nur (K/Z) [mm]\rightarrow \{e^\frac{2\pi i a}{p^n}| a,n \in \mathbb{Z}, n \ge 0\}[/mm]
> > > mit [mm]\frac{a}{p^n}[/mm] + [mm]\matbb{Z} \mapsto e^\frac{2\pi i a}{p^n}[/mm]
> > > aber ich weiß ja so über die Ordnung auch nicht mehr.
> >
> > Es reicht aus zu zeigen, dass es unendlich viele Elemente
> > da drinnen gibt. Dazu reicht es aus, z.B. die Bilder von [mm]\{ 1/p^n \mid n \in \IN \}[/mm]
> > anzuschauen und sich davon zu überzeugen, dass sie alle
> > paarweise verschieden sind.
> meinst du die projektionsabbildung wenn du von Bildern
> redest?
>
> Seien [mm]n_1, n_2 \in \mathbb{N}_{>0}[/mm]
> Sei [mm]n_1\not= n_2,[/mm] also
> oBdA. [mm]n_2>n_1[/mm]
> Sei [mm]\frac{1}{p^{n_1}}[/mm] + [mm]\mathbb{Z} =\frac{1}{p^{n_2}}[/mm] +
> [mm]\mathbb{Z}[/mm]
> d.h. [mm]\frac{p^{n_2}-p^{n_1}}{p^{n_1+n_2}} \in \mathbb{Z}[/mm]
>
> d.h. [mm]p^{n_1+n_2}[/mm] teilt [mm]p^{n_2}[/mm] - [mm]p^{n_1}[/mm]
> Nach zahlentheorie gilt [mm]|p^{n_1+n_2}|\le|p^{n_2}[/mm] -
> [mm]p^{n_1}|[/mm] oder [mm]p^{n_2}[/mm] - [mm]p^{n_1}=0[/mm]
Das musst du evtl. besser begründen. Vielleicht reicht es aber auch schon so :)
> Nach Voraussetzung [mm]n_2 >n_1[/mm] ist die Ungleichung falsch,
> demnach [mm]p^{n_2}[/mm] - [mm]p^{n_1}=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow p^{n_2}=p^{n_1} \Rightarrow n_2=n_1[/mm] Widerspruch
> zur Voraussetzung.
Du kannst auch argumentieren: $0 < [mm] p^{n_i} [/mm] < 1$ (falls [mm] $n_i$ [/mm] nicht gerade 0 ist), womit die Differenz zweier solcher Zahlen im Intervall $(-1, +1)$ liegen muss. Wenn die Differenz also aus [mm] $\IZ$ [/mm] ist, muss sie gleich 0 sein.
Geht ein klein wenig schneller so ;)
> Daraus folgt K/Z hat unendliche Ordnung.
> Ist das so okay?
Ja, das stimmt so.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Sa 21.11.2015 | | Autor: | sissile |
Hi,
Ich würde mich freuen auf eine kurze Mitteilung ob die Rechnung im letzten Post stimmt.
Liebe Grüße!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Sa 14.11.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zur 1. Frage: Da eine unendliche Gruppe gesucht ist, würde
> ich es direkt beweisen.
> Ob [mm]K/\IZ[/mm] endlich erzeugt ist, ist eine schöne Frage. Nimm
> mal an, sie sei es. Wie stellst Du die Elemente der Menge
> [mm]\{\frac{1}{p^{n}}|n\in \IN\}[/mm] dar?
Man könnte auch allgemein beweisen: eine endlich erzeugte kommutative $p$-Gruppe ist endlich.
Oder allgemeiner: eine endlich erzeugte kommutative Gruppe, so dass ein gewisser Satz von Erzeugern endliche Ordnung hat, ist endlich.
Das ist recht einfach zu beweisen und zeigt direkt, dass [mm] $K/\IZ$ [/mm] unendlich erzeugt ist falls es unendlich viele Elemente hat.
LG Felix
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