unendliche Reihe untersuchen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Di 12.06.2007 | | Autor: | macio |
| Aufgabe | Unersuchen sie die Unendliche Rheie
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3^3} [/mm] + ...
mit Wurzel - u. Quotientenkriterium auf Konvergenz! |
Quotientenkriterium ist ja: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{ \bruch{a_n_+_1}{a_n} }
[/mm]
Wurzelkriterium ist: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{\vmat{a_n}}
[/mm]
Ich weis aber leider nicht wie ich [mm] a_n [/mm] defieneren soll!
oder vll erst die Rheie als Summe darstellen?
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{2^n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3^n}
[/mm]
Danke schon mal im Voraus
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Hallo macio,
ja zuerst die Reihe mal aufzuschreiben ist ne gute Idee:
[mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}\right)
[/mm]
Also ist "dein" [mm] a_n=\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}
[/mm]
Damit berechne mal den [mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
[/mm]
Da musste ein bissl erweitern und umformen, dann geht das schon 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Di 12.06.2007 | | Autor: | macio |
Also [mm] \bruch{\bruch{1}{2^n^+^1}+ \bruch{1}{3^n^+^1}}{\bruch{1}{2^n}+\bruch{1}{3^n}} [/mm] =( [mm] \bruch{1}{2^n^+^1}+ \bruch{1}{3^n^+^1} )\* [/mm] ( [mm] \bruch{2^n}{1}+\bruch{3^n}{1}) [/mm] = [mm] \bruch{5^n}{2^n^+^1} [/mm] + [mm] \bruch{5^n}{3^n^+^1 } [/mm] ??
Ist das so korrekt? Wenn ja, wie geht es weiter?
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Hallo,
> Also [mm]\bruch{\bruch{1}{2^n^+^1}+ \bruch{1}{3^n^+^1}}{\bruch{1}{2^n}+\bruch{1}{3^n}}[/mm]
> =( [mm]\bruch{1}{2^n^+^1}+ \bruch{1}{3^n^+^1} )\*[/mm] (
> [mm]\bruch{2^n}{1}+\bruch{3^n}{1})[/mm] = [mm]\bruch{5^n}{2^n^+^1}[/mm] +
> [mm]\bruch{5^n}{3^n^+^1 }[/mm] ??
> Ist das so korrekt? Wenn ja, wie geht es weiter?
Das ist Unfug, der Anfang stimmt.
Dann erweitern bzw gleichnamig machen:
[mm] \frac{\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{3^{n+1}}}{\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}}=\frac{\frac{3^{n+1}+2^{n+1}}{2^{n+1}3^{n+1}}}{\frac{3^n+2^n}{2^n3^n}}=\frac{6^n}{6^{n+1}}\cdot{}\frac{3^{n+1}+2^{n+1}}{3^n+2^n}=\frac{1}{6}\cdot{}\frac{3^n\cdot{}3+2\cdot{}2^n}{3^n+2^n}
[/mm]
Hier klammere mal im Zähler und Nenner [mm] 3^n [/mm] aus, dann mache den Grenzübergang [mm] n\to\infty
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Di 12.06.2007 | | Autor: | macio |
[mm] \frac{\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{3^{n+1}}}{\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}}=\frac{\frac{3^{n+1}+2^{n+1}}{2^{n+1}3^{n+1}}}{\frac{3^n+2^n}{2^n3^n}}=\frac{6^n}{6^{n+1}}\cdot{}\frac{3^{n+1}+2^{n+1}}{3^n+2^n}=\frac{1}{6}\cdot{}\frac{3^n\cdot{}3+2\cdot{}2^n}{3^n+2^n} [/mm]
Ich blick da jetzt gar nicht durch....wie hast du denn den Term erweitert und wie bist du denn überhaupt auf erweitern gekommen?
Wie hast du den Term gekürzt? [mm] \frac{\frac{3^{n+1}+2^{n+1}}{2^{n+1}3^{n+1}}}{\frac{3^n+2^n}{2^n3^n}} [/mm] so, das dieser rauskommt [mm] \frac{6^n}{6^{n+1}}\cdot{}\frac{3^{n+1}+2^{n+1}}{3^n+2^n}
[/mm]
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Hallo,
nun, du hast im Zähler und Nenner jeweils eine Summe von zwei Brüchen, die addiert man, indem man sie gleichnamig macht.
Bei der anderen Umformung habe ich den unteren Bruch dieses Doppelbruchs als Kehrwert mit nem "MAL" dahintergeschrieben
(Man dividieret durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert)
Weiter habe ich [mm] 3^n\cdot{}2^n [/mm] zusammengefasst zu [mm] (3\cdot{}2)^n=6^n
[/mm]
(Potenzgesetze)
Analog mit [mm] 3^{n+1}\cdot{}2^{n+1}
[/mm]
Dann habe ich die 6en zusammengefasst und [mm] 6^n [/mm] gekürzt
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Di 12.06.2007 | | Autor: | macio |
Alles klar, Danke vielmals!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Di 12.06.2007 | | Autor: | macio |
Wie soll ich denn jetzt [mm] 3^n [/mm] ausklammern? Kirg das nicht hin, da wir im Zähler und Nenner ja auch [mm] 2^n [/mm] haben
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Di 12.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo macio!
Ein Tipp zum Ausklammern ... es gilt:
[mm] $2^n [/mm] \ = \ [mm] 3^n*\bruch{2^n}{3^n} [/mm] \ = \ [mm] 3^n*\left(\bruch{2}{3}\right)^n$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Di 12.06.2007 | | Autor: | macio |
Also :
[mm] \bruch{3^n(3+\bruch{2^n^+^1}{3^n})}{3^n(1+\bruch{2^n}{3^n})}
[/mm]
= [mm] \bruch{3+\bruch{2^n}{3^n}}{1+\bruch{2^n}{3^n}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3+\bruch{2^\infty}{3^\infty}}{1+\bruch{2^\infty}{3^\infty}}
[/mm]
=3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Di 12.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo macio!
Da stimmt so. Und was heißt das dann für den gesamten Quotientenausdruck [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|$ [/mm] ? Ist dieser Ausdruck größer oder kleiner als 1?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:36 Di 12.06.2007 | | Autor: | macio |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] >1 somit divergent
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Hallo macio,
nicht den Überblick verlieren, du hast hier lediglich einen Teilausdruck von [mm] \frac{a_{n+1}}{a_n}, [/mm] der gegen 3 geht,
erinnere dich, dass wir oben noch einen Vorfaktor [mm] \cdot{}\frac{1}{6} [/mm] hatten.
der [mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1}{6}\cdot{}3=\frac{1}{2}
[/mm]
Somit konvergiert (!!) die Reihe - sogar absolut
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Di 12.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo macio!
Einen Nachsatz noch ...
> = [mm]\bruch{3+\bruch{2^n}{3^n}}{1+\bruch{2^n}{3^n}}[/mm]
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3+\bruch{2^\infty}{3^\infty}}{1+\bruch{2^\infty}{3^\infty}}[/mm]
Hier ist es sauberer, wenn Du mit der Grenzwertbetrachtung für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] schreibst:
$= \ [mm] \bruch{3+0}{1+0} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{1} [/mm] \ = \ 3$
Gruß
Loddar
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Hoi,
bei WK aufpassen, oder ist es nur ein Schreibfehler?
Du musst [mm] \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[\red{n}]{\left|a_n\right|} [/mm] bestimmen!!
Gruß
schachuzipus
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