unendliche Menge injektive Abb < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:29 Sa 27.11.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Sei A eine unendliche Menge.
(a) Zeigen Sie, dass es eine injektive Abbildung [mm] f : \IN \to A [/mm] gibt.
(b) Sei [mm] a \in A[/mm]. Zeigen Sie, dass es eine bijektive Abbildung [mm]g : A \to A \setminus \{a\}[/mm] gibt. |
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich hier richtig liege:
(a) injektiv heißt: jedes [mm] a \in A [/mm] wird nur einmal durch die Zuordnung getroffen.
Sein [mm] A = \{ a_0 , a_1 , a_3 , ....\} [/mm]. Ich nummeriere also die Elemente aus A mit den natürlichen Zahlen durch ( bei und ins [mm]0 \in \IN [/mm])
Dann kann man f definierten:
[mm]f: \IN \to A [/mm]
[mm] n \mapsto a_n [/mm]
Daraus folgt dann offensichtlich die Injektivität.
Oder?
(b) bijektiv heißt: jedes Element aus [mm] A \setminus \{ a \} [/mm] wird genau einmal getroffen.
ich definiere also [mm] a := a_i [/mm] also das i-te Element von A.
Dann: [mm] f: A \to A \setminus \{ a \} [/mm] = [mm] f: A \to A \setminus \{ a_i \} [/mm]
mit: [mm] f(a_k)=\left\{\begin{matrix}
a_k, & \mbox{wenn }a_k < a_i\mbox{ } \\
a_{k+1}, & \mbox{wenn }a_{k+1} \ge a_i \mbox{ }
\end{matrix}\right. [/mm]
injektiv: jedes [mm] a_i \in A [/mm] wird eindeutig zugeordnent
surjektiv: jedes [mm] a_j \in \setminus A \{ a \} [/mm] wird getroffen.
Oder?
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Hallo ella,
deine Überlegungen stimmen alle, solange A abzählbar unendlich ist.
Nirgends steht diese Einschränkung jedoch, d.h. A kann durchaus auch überabzählbar unendlich sein.
Dann geht dein Argument mit dem Durchnummerieren kaputt.
Überleg dir dazu also noch was 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:38 Sa 27.11.2010 | | Autor: | ella87 |
mmmh. Überabzählbare Mengen hatten wir noch nicht...
eingentlich haben wir nur endliche Mengen definiert
"[mm]\exists n \in \IN [/mm] sodass die Menge M n-elementig ist"
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Huhu,
ihr hattet also die reellen Zahlen noch nicht?
Kann ich mir kaum vorstellen.... aber dann ist die Aufgabe falsch gestellt.
Wenn du dir sicher bist mit abzählbarer Unendlichkeit, passt dein Beweis.
Aber ich würde mich an deiner Stelle nicht darauf verlassen.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:55 Sa 27.11.2010 | | Autor: | ella87 |
man stelle sich vor: wir hatten die reelen Zahlen echt noch nicht!
bei uns gibt es nur natürliche Zahlen. Der Typ ist halt sehr gründlich =)
Also dann kann man das so stehen lassen oder?
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Huhu,
dann ist die Aufgabe allerdings sehr schwammig formuliert!
Bei deiner Aufgabe würde ich aber wirklich alle natürlichen Zahlen verwenden und nicht nur 0,1,3,... 
(Du hast beim Durchnummerieren von A die 2 vergessen).
Und: Wieso führst du [mm] a_i [/mm] ein beim zweiten Teil? Das verwirrt dich nur selbst
Aber in dem Fall kann man das so stehen lassen.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:14 Sa 27.11.2010 | | Autor: | ella87 |
oh! natürlich gibt es [mm] a_2 [/mm] auch!
das mit dem [mm] a_i [/mm] hab ich gemacht um zu sagen, dass man das i-te element aus der Menge nimmt. wie könnte ich denn ansonsten die Vorschrift für f festlegen?
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Huhu,
dann musst du in der Funktionsvorschrift natürlich auch "für $k < i$" schreiben und NICHT für [mm] $a_k [/mm] < [mm] a_i$, [/mm] denn die Elemente in A müssen ja nichtmal geordnet sein!
Die Indizes nach deiner Durchnummerierung aber schon.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:57 Sa 27.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin zusammen,
> dann ist die Aufgabe allerdings sehr schwammig formuliert!
nicht umbedingt.
Eventuell hatten sie in der Vorlesung bisher nur die Unterscheidung, ob eine Menge endlich ist mit $n$ Elementen, oder ob das halt fuer kein $n$ zutrifft -- und die Menge damit unendlich ist.
Ob sie die reellen Zahlen jetzt hatten oder nicht ist doch egal -- es ist einfach irgendeine Menge gegeben, die auch etwas sein kann was sie nicht kennen.
Beweisen kann man das ganze z.B. so: sei $I = [mm] \{ n \in \IN \mid \exists \text{ injektive Abb. } \{ 1, \dots, n \} \to A \}$. [/mm] Zuerst zeigt man: es gibt eine Abb. wie in der Aufgabe genau dann, wenn $I$ unbeschraenkt ist.
Dann zeigt man, dass $I$ unbeschraenkt ist (etwa per Induktion, dass $I = [mm] \IN$ [/mm] ist).
Und fuer Aufgabenteil (b) muss man so eine Folge wie in (a) nehmen, das erste Element zu $a$ umaendern (falls es nicht schon $a$ ist), und mit dieser Folge arbeiten (ausserhalb der Folge ist die Abbildung dann die Identitaet).
LG Felix
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