unendliche Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | Es sei [mm]f: \IR \to \IR[/mm]
[mm]x \mapsto \begin{cases} exp(- \bruch{1}{x}), & \mbox{für } x>0 \\ 0, & \mbox{für } x \le 0 \end{cases}[/mm]
Zeigen Sie dass [mm]f[/mm] unendlich oft differenzierbar ist. |
Kann mir bitte einer so schnell wie möglich sagen, wie ich herausbekomme, ob eine Funktion unendlich oft differenzierbar ist.
Oder besser gesagt, welche Vorraussetzungen müssen gelten, damit unendliche Differenzierbarkeit gilt?
Vielen Dank schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Zeig erst mal, dass f stetig ist. Das Problem hierbei sollte nur die Stelle x=0 sein. Dann kannst du mit den Ableitungen anfangen. Alle Ableitungen haben in etwas das gleiche Muster Auch hier musst du dann zeigen, dass jede Ableitung in 0 existiert (überall sonst tut sie es sowieso).
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
Sorry, ich steh gerade aufm Schlauch :D
Wie weise ich bei der Funktion am einfachsten Stetigkeit nach? Mit [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Kriterium?
Vielen Dank schonmal!
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Hallo,
> Sorry, ich steh gerade aufm Schlauch :D
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> Wie weise ich bei der Funktion am einfachsten Stetigkeit
> nach? Mit [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] Kriterium?
Hmm, das geht zwar immer, wird aber beliebig schwierig.
Besser über das Folgenkriterium der Stetigkeit!
Bzw. nutze die Stetigkeit der Exponentialfunktion ...
[mm] $\lim\limits_{x\to x_0}e^{g(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}$
[/mm]
Für die Diffbarkeit in 0 solltest du dir den Differenzenquotienten ansehen und auch mal die Regel von de l'Hôpital ...
>
> Vielen Dank schonmal!
Gruß
schachuzipus
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