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| Aufgabe | Es seien V,W Vektorräume über einem Körper K, und W sei endlichdimensional. Es sei
A : V -> W eine K-lineare Abbildung. Zeige:
für A*: w*-> V* mit A*(g) = gA
i) Kern(A*) = {g in W* | mit g(Bild(A)) = {0}}.
ii) Kern(A) = {x in V | mit für alle f in Bild(A*) gilt f(x) = 0}.
iii) A ist ein Epimorphismus <=> A* ist ein Monomorphismus.
iv) A ist ein Monomorphismus <=>A* ist ein Epimorphismus.
v) A ist ein Isomorphismus <=> A* ist ein Isomorphismus.
Für welche der Aussagen wird die Endlichdimensionalität von W nicht benötigt? |
Hab jetzt über Basisergänzungssatz und eindeutige Bestimmtheit einer linearen Abbildung durch die Angabe der Bilder einer Basis dieser alle Sätze bewiesen ohne die endlichdimensionalität von W gebraucht zu haben. Erfahrungsgemäß würde ich sagen, dass sich ein Fehler eingeschlichen hat. Kann mir jemand verraten, ob die endlichdimesionalität auch nur für eine der fünf aussagen gebraucht wird ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:57 Sa 21.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo onthenightshift,
> Hab jetzt über Basisergänzungssatz und eindeutige
> Bestimmtheit einer linearen Abbildung durch die Angabe der
> Bilder einer Basis dieser alle Sätze bewiesen ohne die
> endlichdimensionalität von W gebraucht zu haben.
> Erfahrungsgemäß würde ich sagen, dass sich ein Fehler
> eingeschlichen hat. Kann mir jemand verraten, ob die
> endlichdimesionalität auch nur für eine der fünf
> aussagen gebraucht wird ?
Ich komme zum selben Schluss wie du: Die Endlichdimensionalität von W wird bei keiner der fünf Aussagen gebraucht. Komische Aufgabenstellung...
Nebenbei: Hattet ihr den Basisergänzungssatz auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Da braucht man nämlich das Lemma von Zorn...
Viele Grüße
Tobias
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es könnte sein, dass der aufgabensteller den basisergänzungssatz im unendlichedimensionalen vr nicht zulässt und deshalb die aufgabenstellung irreführend wirkt.
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