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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Fr 24.08.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Sei X eine Menge mit unendlich vielen Elementen. Zeige , dasss F(X, [mm] \IK) [/mm] unendlich-dimensional ist.
Hinweis: Für jedes x [mm] \in [/mm] X betrachte die Funktion
[mm] e_x [/mm] : X -> [mm] \IK, e_x [/mm] (x) := 1 , [mm] e_x [/mm] (y) :=0, falls y [mm] \not= [/mm] x , und zeige , dass die menge [mm] \{e_x | x \in X \} [/mm] linear unabhängig in F(X, [mm] \IK) [/mm] ist. |
Hallo,
Ich finde den Hinweis etwas seltsam und komme allgemein mit der Aufgabe gar nicht zurecht.
Ich sollzeigen, dass jede Basis von F(X, [mm] \IK) [/mm] unendlich viele Elemente hat.
Sind x und y zwei beliebige Elemente in X ?
Ich bitte um Aufklärung bzgl. des Hinweises und was er mir bringt..
LG,
quasimo
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moin,
$F(X,K)$ ist die Menge aller Abbildungen von $X$ nach $K$, betrachtet als $K-$Vektorraum?
Du sollst zeigen: Wenn $X$ unendlich ist, so ist $F(X,K)$ unendlichdimensional.
Die Dimension ist ja die Mächtigkeit der Basis (und wohldefiniert, da alle Basen gleichmächtig sind).
Es würde also eine unendliche Basis reichen, da alle Basen gleichmächtig sind wärst du damit fertig.
Allerdings ist eine Basis von $F(X,K)$ gar nicht so leicht anzugeben.
Was du aber benutzen kannst ist der Basisergänzungssatz (oder einen ähnlichen).
Du kennst sicher folgende Aussage:
Ist $V$ ein $K$-Vektorraum und $M [mm] \subseteq [/mm] V$ linear unabhängig. Dann gibt es eine Basis $B$ von $V$, sodass $M [mm] \subseteq [/mm] B$ gilt (oder anders ausgedrückt: $M$ lässt sich zu einer Basis von $V$ ergänzen).
Da hier insbesondere die Basis $B$ mindestens so viele Elemente enthält wie $M$ reicht es für unendlichdimensional eine unendliche linear unabhängige Menge zu finden.
In deinem Fall ist $M := [mm] \{e_x \mid x \in X \}$ [/mm] die Menge aller Abbildungen [mm] $e_x$ [/mm] - du hast also für jedes $x [mm] \in [/mm] X$ eine andere Abbildung.
Diese haben aber sehr ähnliche Abbildungsvorschriften:
[mm] $e_x [/mm] : X [mm] \to [/mm] K, [mm] \, e_x(y) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } x=y \\ 0, & \mbox{für } x \neq y \end{cases}$
[/mm]
> Sind x und y zwei beliebige Elemente in X ?
Ja und nein. Für jedes $x [mm] \in [/mm] X$ hast du die Abbildung [mm] $e_x$ [/mm] und kannst [mm] $e_x(y)$ [/mm] bilden.
Du kannst also für alle $x,y [mm] \in [/mm] X$ den Ausdruck [mm] $e_x(y)$ [/mm] bilden, aber als ganz beliebig würde ich das nicht bezeichnen, denn jede Abbildung [mm] $e_x$ [/mm] braucht ein festes $x$.
Nun musst du zeigen:
1. $M$ ist unendlich.
2. $M$ ist linear unabhängig.
Für 2. verwende:
Eine unendliche Menge ist (nach Definition) genau dann linear unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge linear unabhängig ist.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Fr 24.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
Danke für deine Antwort.
1. M ist unendlich
Da X eine Menge mit unendlich vielen Elementen ist, ist auch die Menge M unendlich.
2.M linear unabhängig
Seien also [mm] e_{x_1},e_{x_2},..,e_{x_n} [/mm] n beliebige Elemente aus M
Und sei:
[mm] \lambda_1 e_{x_1} [/mm] + [mm] \lambda_2 e_{x_2}+ [/mm] .. [mm] \lambda_n e_{x_n}= [/mm] f
der Nullvektor genau dann wenn für alle x [mm] \in [/mm] X gilt f(x)=0
wobei die [mm] x_{i} \not= x_{j} [/mm] wenn i [mm] \not= [/mm] j
Insbesondere gilt dann für alle [mm] x_j [/mm] , [mm] f(x_j)=0
[/mm]
<=>
0 = [mm] f(x_j)= \lambda_1 e_{x_1} (x_j)+ \lambda_2 e_{x_2}(x_j)+ [/mm] .. [mm] \lambda_n e_{x_n}(x_j)= \lambda_j e_{x_j} (x_j) [/mm] = [mm] \lambda_j
[/mm]
Für alle j ist [mm] \lambda_j [/mm] =0.
Ich denke ich habs?
LG,
quasimo
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> Hallo,
> Danke für deine Antwort.
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> 1. M ist unendlich
> Da X eine Menge mit unendlich vielen Elementen ist, ist
> auch die Menge M unendlich.
>
> 2.M linear unabhängig
> Seien also [mm]e_{x_1},e_{x_2},..,e_{x_n}[/mm] n beliebige Elemente
> aus M
Nicht ganz, nein.
Die [mm] $x_i$ [/mm] sind beliebig aus $X$, aber die [mm] $e_{x_i}$ [/mm] haben die ganz spezielle Form, dass sie an einer Stelle 1 sind und sonst überall 0.
> Und sei:
> [mm]\lambda_1 e_{x_1}[/mm] + [mm]\lambda_2 e_{x_2}+[/mm] .. [mm]\lambda_n e_{x_n}=[/mm]
> f
> der Nullvektor genau dann wenn für alle x [mm]\in[/mm] X gilt
> f(x)=0
> wobei die [mm]x_{i} \not= x_{j}[/mm] wenn i [mm]\not=[/mm] j
>
> Insbesondere gilt dann für alle [mm]x_j[/mm] , [mm]f(x_j)=0[/mm]
> <=>
> 0 = [mm]f(x_j)= \lambda_1 e_{x_1} (x_j)+ \lambda_2 e_{x_2}(x_j)+[/mm]
> .. [mm]\lambda_n e_{x_n}(x_j)= \lambda_j e_{x_j} (x_j)[/mm] =
> [mm]\lambda_j[/mm]
> Für alle j ist [mm]\lambda_j[/mm] =0.
genau, sehr schön. ;)
> Ich denke ich habs?
> LG,
> quasimo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Fr 24.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Ich habe zu danken ;)
LG,
quasimo
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