uneigentliches Integral berech < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 So 16.10.2011 | | Autor: | volk |
| Aufgabe | | Berechne [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{3*e^{x^2}+2}{e^{2*x}+1} dx} [/mm] |
Hallo,
ich hänge an diesem unbestimmten Integral fest.
Ich habe schon mit sämtlichen Methoden versucht, die Stammfunktion zu bestimmen, aber es gelingt mir nicht.
Vielleicht hat jemand einen Tipp? (keine Lösung  )
Grüße
volk
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Hallo volk,
> Berechne
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{3*e^{x^2}+2}{e^{2*x}+1} dx}[/mm]
>
> Hallo,
> ich hänge an diesem unbestimmten Integral fest.
> Ich habe schon mit sämtlichen Methoden versucht, die
> Stammfunktion zu bestimmen, aber es gelingt mir nicht.
> Vielleicht hat jemand einen Tipp? (keine Lösung )
Unter Umständen brauchst Du ja gar keine Stammfunktion.
Wenn ich nicht irre, ist das Integral gar nicht konvergent, also nicht existent.
Untersuch das doch mal zuerst. 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 So 16.10.2011 | | Autor: | volk |
Hallo,
vielen Dan für die Antwort.
Wir sollten vorher bei anderen Integralen nachrechnen, ob sie konvergent sind. Dieses hier sollen wir explizit berechnen. Von daher glaube ich, dass es eine Lösung gibt.
Nur habe ich keine Ahnung, wie ich ansetzen soll.
Grüße
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Hallo nochmal,
> Wir sollten vorher bei anderen Integralen nachrechnen, ob
> sie konvergent sind. Dieses hier sollen wir explizit
> berechnen. Von daher glaube ich, dass es eine Lösung
> gibt.
Es gibt aber keine. Der Tipp war nicht geraten, sondern basiert auf einer Grundlage.
> Nur habe ich keine Ahnung, wie ich ansetzen soll.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 So 16.10.2011 | | Autor: | volk |
Sorry, ich habe die Aufgabe falsch abgeschrieben. Sie lautet richtig [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{3*e^x+2}{e^{2*x}+1} dx}
[/mm]
Wir hatten nur das Majorantenkriterium und nur die Majorante [mm] \bruch{1}{x^\alpha} [/mm] für alle [mm] \alpha [/mm] > 1
Somit gilt [mm] \bruch{3*e^x+2}{e^{2*x}+1}<\bruch{3*e^x*2}{e^{2*x}+1}<\bruch{3*e^x*2}{e^{2*x}}=\bruch{6}{e^{x}}<\bruch{1}{x^2}
[/mm]
Da [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^2} dx} [/mm] absolut konvergent ist, konvergiert auch [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{3*e^x+2}{e^{2*x}+1} dx}
[/mm]
Aber wie kann ich jetzt die Stammfunktion berechnen?
Gruß
volk
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Hallo volk,
> Sorry, ich habe die Aufgabe falsch abgeschrieben. Sie
> lautet richtig
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{3*e^x+2}{e^{2*x}+1} dx}[/mm]
> Wir
> hatten nur das Majorantenkriterium und nur die Majorante
> [mm]\bruch{1}{x^\alpha}[/mm] für alle [mm]\alpha[/mm] > 1
> Somit gilt
> [mm]\bruch{3*e^x+2}{e^{2*x}+1}<\bruch{3*e^x*2}{e^{2*x}+1}<\bruch{3*e^x*2}{e^{2*x}}=\bruch{6}{e^{x}}<\bruch{1}{x^2}[/mm]
>
> Da [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^2} dx}[/mm] absolut
> konvergent ist, konvergiert auch
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{3*e^x+2}{e^{2*x}+1} dx}[/mm]
>
> Aber wie kann ich jetzt die Stammfunktion berechnen?
>
Substituiere zunächst [mm]z=e^{x}[/mm]
> Gruß
> volk
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 So 16.10.2011 | | Autor: | volk |
> Hallo volk,
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> > Sorry, ich habe die Aufgabe falsch abgeschrieben. Sie
> > lautet richtig
> > [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{3*e^x+2}{e^{2*x}+1} dx}[/mm]
> >
> Wir
> > hatten nur das Majorantenkriterium und nur die Majorante
> > [mm]\bruch{1}{x^\alpha}[/mm] für alle [mm]\alpha[/mm] > 1
> > Somit gilt
> >
> [mm]\bruch{3*e^x+2}{e^{2*x}+1}<\bruch{3*e^x*2}{e^{2*x}+1}<\bruch{3*e^x*2}{e^{2*x}}=\bruch{6}{e^{x}}<\bruch{1}{x^2}[/mm]
> >
> > Da [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^2} dx}[/mm] absolut
> > konvergent ist, konvergiert auch
> > [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{3*e^x+2}{e^{2*x}+1} dx}[/mm]
> >
> > Aber wie kann ich jetzt die Stammfunktion berechnen?
> >
>
>
> Substituiere zunächst [mm]z=e^{x}[/mm]
>
>
> > Gruß
> > volk
Hallo MathePower,
ich bin jetzt so weit gekommen
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{3*e^x+2}{e^{2*x}+1} dx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{n}{\bruch{3*e^n+2}{e^{2*n}+1} dn}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{3*e^x+2}{e^{2*x}+1} dx} z=e^x [/mm] => [mm] dx=\bruch{1}{z}du
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{3*e^x+2}{e^{2*x}+1} dx}=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{3*z+2}{z(z^{2}+1)} dx}=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{3}{z^{2}+1} dx}+\integral_{0}^{\infty}{\bruch{2}{z(z^{2}+1)} dx}=3*arctan(x)+...
[/mm]
Hier hänge ich jetzt und weiß nicht, wie ich das hintere Integral zu lösen habe.
Gruß
volk
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Hallo volk,
> > Hallo volk,
> >
> > > Sorry, ich habe die Aufgabe falsch abgeschrieben. Sie
> > > lautet richtig
> > > [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{3*e^x+2}{e^{2*x}+1} dx}[/mm]
>
> > >
> > Wir
> > > hatten nur das Majorantenkriterium und nur die Majorante
> > > [mm]\bruch{1}{x^\alpha}[/mm] für alle [mm]\alpha[/mm] > 1
> > > Somit gilt
> > >
> >
> [mm]\bruch{3*e^x+2}{e^{2*x}+1}<\bruch{3*e^x*2}{e^{2*x}+1}<\bruch{3*e^x*2}{e^{2*x}}=\bruch{6}{e^{x}}<\bruch{1}{x^2}[/mm]
> > >
> > > Da [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^2} dx}[/mm] absolut
> > > konvergent ist, konvergiert auch
> > > [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{3*e^x+2}{e^{2*x}+1} dx}[/mm]
>
> > >
> > > Aber wie kann ich jetzt die Stammfunktion berechnen?
> > >
> >
> >
> > Substituiere zunächst [mm]z=e^{x}[/mm]
> >
> >
> > > Gruß
> > > volk
>
> Hallo MathePower,
> ich bin jetzt so weit gekommen
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{3*e^x+2}{e^{2*x}+1} dx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{n}{\bruch{3*e^n+2}{e^{2*n}+1} dn}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{3*e^x+2}{e^{2*x}+1} dx} z=e^x[/mm]
> => [mm]dx=\bruch{1}{z}du[/mm]
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{3*e^x+2}{e^{2*x}+1} dx}=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{3*z+2}{z(z^{2}+1)} dx}=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{3}{z^{2}+1} dx}+\integral_{0}^{\infty}{\bruch{2}{z(z^{2}+1)} dx}=3*arctan(x)+...[/mm]
>
Die Untergrenze lautet nach der Substitution 1.
Für das noch zu berechnende Integral,
wendest Du die Partialbruchzerlegung an.
> Hier hänge ich jetzt und weiß nicht, wie ich das hintere
> Integral zu lösen habe.
>
> Gruß
> volk
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 So 16.10.2011 | | Autor: | volk |
Eigentlich wollte ich das Integral allgemein halten, also ohne Grenzen. Habe nur vergessen, die Grenzen aus dem Quellcode zu nehmen.
Ich habe das Ergebnis der Partialbruchzerlegung ergoogelt und zwar [mm] \bruch{1}{x(x^2+1)}=\bruch{1}{x}-\bruch{x}{x^2+1}
[/mm]
Wie geht man bei diesem Term an die Partialbruchzerlegung ran? Eine Nullstelle wäre ja x=0 und andere gibt es nicht, da [mm] x^2=-1, [/mm] oder?
Gruß
volk
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Hallo volk,
> Eigentlich wollte ich das Integral allgemein halten, also
> ohne Grenzen. Habe nur vergessen, die Grenzen aus dem
> Quellcode zu nehmen.
>
> Ich habe das Ergebnis der Partialbruchzerlegung ergoogelt
> und zwar [mm]\bruch{1}{x(x^2+1)}=\bruch{1}{x}-\bruch{x}{x^2+1}[/mm]
> Wie geht man bei diesem Term an die Partialbruchzerlegung
> ran? Eine Nullstelle wäre ja x=0 und andere gibt es nicht,
> da [mm]x^2=-1,[/mm] oder?
Die andere Nullstellen gibt es schon, nur sind die komplex.
Mehr dazu: ![[]](/images/popup.gif) Partialbruchzerlegung
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> Gruß
> volk
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:18 Mo 17.10.2011 | | Autor: | volk |
Vielen Dank!
Der komplexe Ansatz hat mir gefehlt.
Gruß
volk
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