uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 So 08.04.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Für welche a,b [mm] \in \IR [/mm] konvergiert das Integral
[mm] \integral_0^{\infty} t^a e^{bt} [/mm] dt |
Ich hatte gedacht, es hilft villeicht die Gamma-funktion:Wenn x> 0 dann ist [mm] \integral_0^{\infty}t^{x-1} e^{-t} [/mm] dt konvergent.
Für das Integralkriterium bräuchte ich, dass [mm] t^a e^{bt} [/mm] monoton fallend ist.
Ich hab mir auch die 1.Ableitung angeschaut [mm] e^{bt} a*t^{a-1} [/mm] + [mm] e^{bt}t^{a b}. [/mm] Aber wann das für welche a,b, monoton fallend ist, da bin ich überfragt.
Beim surfen hab ich den Tipp gelesen,bei a,b>0 kann man eine divergente Minorante finden. Aber ich weiß nicht, wie ich da geeignet abschätze.
Mir wäre dazu eingefallen im Fall t> 1, [mm] t^a e^{bt} >e^{bt} [/mm]
Aber da schränke ich ja t ein und das bringt mir ja nichts..
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Ich würde die vier Möglichkeiten, die sich aus den Kombinationen [mm]a \geq 0[/mm] bzw. [mm]a < 0[/mm] und [mm]b \geq 0[/mm] bzw. [mm]b < 0[/mm] ergeben, untersuchen. Nur wenn [mm]a<0[/mm] ist, ist das Integral bezüglich der unteren Grenze uneigentlich.
1. Fall: [mm]a \geq 0[/mm] und [mm]b \geq 0[/mm]
Wie verhält sich der Integrand für [mm]t \to \infty[/mm] ? (Beachte den Sonderfall [mm]a=0[/mm] und [mm]b=0[/mm].)
2. Fall: [mm]a \geq 0[/mm] und [mm]b < 0[/mm]
Bekanntermaßen konvergiert [mm]t^a \operatorname{e}^{\frac{1}{2} bt}[/mm] für [mm]t \to \infty[/mm] gegen 0 (exponentielles Wachstum schlägt polynomiales Wachstum), ist also insbesondere durch eine Konstante [mm]c>0[/mm] beschränkt:
[mm]t^a \operatorname{e}^{\frac{1}{2} bt} \leq c \ \ \Leftrightarrow \ \ t^a \operatorname{e}^{bt} \leq c \operatorname{e}^{\frac{1}{2} bt}[/mm]
Was folgt aus der Abschätzung?
3. Fall: [mm]a<0[/mm] und [mm]b \geq 0[/mm]
Nehmen wir erst den Fall [mm]b=0[/mm], also [mm]\int_0^{\infty} t^a ~ \mathrm{d}t[/mm]. Für [mm]-1 \leq a < 0[/mm] divergiert das Integral bezüglich der oberen Grenze und für [mm]a \leq -1[/mm] bezüglich der unteren Grenze.
Jetzt also [mm]b>0[/mm]. Was ist dann mit dem Integranden für [mm]t \to \infty[/mm] ?
4. Fall: [mm]a<0[/mm] und [mm]b<0[/mm]
Die obere Grenze ist hier harmlos (argumentiere ähnlich dem 2. Fall). Unterscheide bezüglich der unteren Grenze die Fälle [mm]-1 < a < 0[/mm] und [mm]a \leq -1[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Mo 09.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo
Fall 1)
b=0 [mm] a\ge [/mm] 0
[mm] \integral_{0}^{\infty}{t^{a} dt}=\integral_{0}^{1}{\frac{1}{t^{-a} }dt}+\integral_{1}^{\infty}{\frac{1}{t^{-a} } dt}.
[/mm]
Das erste Integral konvergiert für -a< 1 und das zweite konvergiert für -a> 1=> kann das Integral als ganzes nur divergieren
a=0 [mm] b\ge [/mm] 0
[mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{bt} dt}=b*e^{bt} =lim_{R->\infty} b*e^{R*b}-b*e^{b*0}=lim_{R->\infty} b*e^{R*b}-b
[/mm]
Existiert nicht, da das Integral nach unendlich geht.
a,b [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \integral_{0}^{\infty}{t^a*e^{bt} dt}
[/mm]
[mm] t^a e^{bt} [/mm] > [mm] e^{bt}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{bt} dt}=\integral_{0}^{1}{\frac{1}{e^{-bt}}dt}+\integral_{1}^{\infty}{\frac{1}{e^{-bt} } dt}
[/mm]
Das zweite Integral existiert nur wenn -bt>1 <=> bt<-1, da t positiv ist und b positiv ist, kann das nie kleiner als -1 sein.
Fall 2 )
> $ [mm] t^a \operatorname{e}^{\frac{1}{2} bt} [/mm] $ für $ t [mm] \to \infty [/mm] $ gegen 0
Wieso weiß man das nur wenn 1/2 im Exponenten der exponenntial-Funktion steht?
Ich möchte mal abwarten ob fall 1 stimmt, weil wenn ich das ganz falsch habe, werden die anderen auch falsch sein!
Liebe Grüße
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Ehrlich gesagt verstehe ich nicht, was du da machst. Wie kannst du zum Beispiel [mm]a \geq 0[/mm] voraussetzen und wenig später dann [mm]-a <1[/mm] schreiben, was ja zu [mm]a > -1[/mm] äquivalent ist. Was soll das? Und warum machst du das so kompliziert, daß du aus [mm]t^a[/mm] künstlich [mm]\frac{1}{t^{-a}}[/mm] machst. Damit machst du doch nur alles noch verwickelter.
Im 1. Fall kannst du ganz einfach sagen: [mm]t^a \operatorname{e}^{bt} \to \infty[/mm] für [mm]t \to \infty[/mm]. Dieses Integral muß daher divergieren. Nur der Fall [mm]a=b=0[/mm] muß extra behandelt werden, denn dann ist der Integrand konstant 1. Auch dieses Integral kann daher nicht konvergieren. Und damit ist der 1. Fall bereits erledigt.
Mache dir Skizzen über den Funktionsverlauf und interpretiere das Integral als Flächeninhalt unter dem Graphen. Du mußt dir unbedingt eine Vorstellung davon verschaffen, was Sache ist. Bloßes Herumhantieren mit mathematischen Symbolen führt schnurgerade in die Katastrophe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Mo 09.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Ich möchte kurz sagen, was ich versucht habe.
In der Volesung haben wir die Bsp. gemacht
[mm] \integral_{0}^{1}{\frac{dx}{x^s}}
[/mm]
-> existiert nur für s< 1
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\frac{dx}{x^s}}
[/mm]
-> existiert nur für s>1
=> [mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{dx}{x^s}}=\integral_{0}^{1}{\frac{dx}{x^s}}+\integral_{1}^{\infty}{\frac{dx}{x^s}}
[/mm]
existiert nicht, da das erste integral, nur für s<1 existiert und das zweite integral nur für s>1
Beim anderen hab ich angwewandt von der Vorlesung
Sei f beschränkt auf [mm] [a,\infty), [/mm] f integrierbar über [a,b] [mm] \forall [/mm] b>0
[mm] \integral_{a}^{\infty} [/mm] f(x) dx := [mm] lim_{b->\infty} \integral_a^{b} [/mm] f(x) dx
In diesem Fall : das uneigentliche Integral 1.Art konvergiert.
Ich habe das gelernt (und uneigentliche Integrale zweiter art, Majoranten,Minoranten-Kriterium,Integralkriterium) und versuche das anzuwenden.
Mir ist nicht klar, was du genau machst
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Wenn du zitierst, mußt du richtig zitieren. Bestimmt war in der Vorlesung bei diesen Regeln [mm]s>0[/mm] vorgegeben. In unserem 1. Fall ist aber [mm]a \geq 0[/mm] vorausgesetzt. Wenn du also
[mm]t^a = \frac{1}{t^{-a}}[/mm]
schreibst, dann paßt das zum Satz der Vorlesung nur, wenn du [mm]s=-a[/mm] interpretierst. Wenn nun aber [mm]a \geq 0[/mm] ist (und diese Voraussetzung darfst du während der Betrachtung des 1. Falls selbstverständlich nicht ändern), dann ist somit [mm]s \leq 0[/mm]. Über diese [mm]s[/mm] sagt der Satz der Vorlesung aber gerade nichts. Das ist auch logisch, denn für solche s sind die Integrale offensichtlich divergent.
Beispiel 1: [mm]s=-\frac{1}{2}[/mm]
[mm]\int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^{- \frac{1}{2}}} = \int_0^{\infty} \sqrt{t} ~ \mathrm{d}t = \infty[/mm] (Fläche unter dem Graphen der Wurzelfunktion!)
Beispiel 2: [mm]s=-3[/mm]
[mm]\int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^{- 3}} = \int_0^{\infty} t^3 ~ \mathrm{d}t = \infty[/mm] (Fläche unter dem Graphen der dritten Potenz!)
Achtung! Du bist mir viel zu sehr Formalist! Damit wirst du in der Mathematik aber nicht weit kommen. Bemühe dich um das wirkliche Verständnis der Dinge. Zeichne dir Skizzen der Graphen, damit du verstehst, worum es überhaupt geht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Mo 09.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo.
Wen ich mir den Graph unter der Funktion ansehe, wie sehe ich es dem an ob das Integral konvergiert?
Ich habe daweil nur meine Definitionen der Vorlesung, da ich es noch wahrscheinlich nicht so gut verstehe um das eigenständig zu lösen.
z.B: Ich zitiere dich
> Im 1. Fall kannst du ganz einfach sagen: $ [mm] t^a \operatorname{e}^{bt} \to \infty [/mm] $ für $ t [mm] \to \infty [/mm] $. Dieses Integral muß daher divergieren.
Wie siehst du, dass das Integral divergiert? Ich schätze mal du schriebst dir keine mathematische Formel hin?
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Zunächst können Potenzen für positive Eingaben keine negativen Werte annehmen. Also sind alle Funktionswerte positiv. Deshalb zeichne ich mir irgendeinen Graphen über dem Intervall [mm][0,\infty)[/mm], bei dem die Funktionswerte [mm]f(t)[/mm] positiv sind und nach rechts hin ins Unendliche abhauen. Der Anfang des Graphen ist reine Phantasie. Das ist hier für die Problemstellung nicht wichtig. Und man sieht, daß die Fläche erst recht (!) unendlich groß wird.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Im Falle [mm]a=b=0[/mm] gilt nicht mehr: [mm]f(t) \to \infty[/mm] für [mm]t \to \infty[/mm], sondern [mm]f(t)=1[/mm]. Daher zeichne ich mir eine Parallele zur [mm]x[/mm]-Achse auf der Höhe [mm]y=1[/mm]. Und auch hier hat man einen unendlichen Flächeninhalt. Zwar geht der Flächeninhalt nach rechts nicht mehr so rasant gegen unendlich wie bei der obigen Skizze. Aber was soll's! Unendlich bleibt unendlich.
Also divergiert das Integral für [mm]a \geq 0, \, b \geq 0[/mm].
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Mo 09.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. die funktion ist immer positiv, wenn sie also wachsend ist oder konstant, dann muss die fläche darunter unendlich groß werden. wenn sie fallend ist, muss sie schnellgenug fallen damit sie einen endlichen flächeninhalt hat. [mm] e^{-t} [/mm] tut das z.B ebenso [mm] t*e^{-t}
[/mm]
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Mo 09.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Okay das habe ich nun verstanden.
Aber bei fall 2)
> Bekanntermaßen konvergiert $ [mm] t^a \operatorname{e}^{\frac{1}{2} bt} [/mm] $ für $ t [mm] \to \infty [/mm] $ gegen 0 (exponentielles Wachstum schlägt polynomiales Wachstum)
Ich weiß das exponentielles Wachstum das polynomiales Wachstum schlägt. Aber wieso arbeitest du hier mit 1/2 ?Gibt es dafür einen Grund, den ich grade nicht erkenne?
Was ist mit der ARgumentation:
Ich leite [mm] t^a e^{bt} [/mm] ab nach t was [mm] e^{bt} *(at^{a-1}+bt^a) [/mm] ergibt
der Grenzwert von [mm] at^{a-1}+bt^a [/mm] ist Unendlich mit dem Vorzeichen von b, da b vor der höheren Potenz steht
die Ableitung hat also irgendwann immer das gleiche Vorzeichen.
So könnte ich dann das Integralkriterium anwenden:
[mm] \sum_{n=0}^\infty n^ae^{bn}
[/mm]
[mm] \sqrt[n]{|n^ae^{bn}|}=(\sqrt[n]{n})^a*( \sqrt[n]{e^n})^b [/mm]
[mm] n->\infty
[/mm]
[mm] 1^a [/mm] * [mm] e^b [/mm] = [mm] e^b
[/mm]
für [mm] e^b [/mm] < 1 konvergenz.
b*log(e)<log(1)
b < 0 konvergenz
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:54 Di 10.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Beim surfen hab ich gesehen, dass man es ja umschreiben kann auf: [mm] e^{bt+a*ln(t)} [/mm]
Ist es dann vlt. leichter?
Der Exponent muss gegen - [mm] \infty [/mm] gehen so dass das Integral existiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 12.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich verstehe nicht, was du mit deinen Rechnungen bezwecken willst. Den 2. Fall kann man mit der Abschätzung
[mm]0 \leq t^a \operatorname{e}^{bt} \leq c \operatorname{e}^{\frac{1}{2}bt}[/mm]
ganz leicht abhandeln. Denn das Integral
[mm]\int_0^{\infty} c \operatorname{e}^{\frac{1}{2}bt} ~ \mathrm{d}t[/mm]
konvergiert, weil [mm]b[/mm] jetzt ja negativ ist. Damit ist eine Majorante gefunden.
Die eigentliche Schwierigkeit ist es, auf diese Abschätzung zu kommen. Und die Sache mit dem [mm]\frac{1}{2}bt[/mm] statt [mm]bt[/mm] ist halt der Trick dabei.
Beim 3. und 4. Fall mußt du aufpassen. Da dort [mm]a[/mm] negativ ist, macht jetzt [mm]t^a[/mm] an der unteren Grenze Probleme.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Di 10.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Anscheinend versteh ich es noch immer nicht wenn alles falsch ist.
> 3 Fall: $ a<0 $ und $ b [mm] \geq [/mm] 0 $
> Jetzt also $ b>0 $. Was ist dann mit dem Integranden für $ t [mm] \to \infty [/mm] $ ?
da die exponentialfunktion schneller wächst gegen + [mm] \infty, [/mm] wird das Integral nicht existieren
Wahrscheinlich wieder falsch ;(
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Nicht falsch, aber undeutlich, weil du den entscheidenden Grund nicht genannt hast. Warum läßt du dir nicht einfach einmal von irgendeinem Programm Skizzen zeichnen? Zum Beispiel: [mm]a=-3, \, b=2[/mm] oder [mm]a = -\frac{1}{2}, \, b=3[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Mi 11.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Hab mir nochmals gedanken gemacht:
3 Fall: $ a<0 $ und $ b [mm] \geq [/mm] 0 $
[mm] t^a e^{bt} [/mm] = [mm] e^{bt+a*ln(t)}
[/mm]
Funktion ln(x) wächst langsamer als jede noch so kleine positive Potenz von x.
-> Kann der Exponent nicht so schnell gegen - unendlich gehen
andere idee:
Gamma Funktion
[mm] \integral_{0}^{\infty}{t^{x-1} e^{-t} dt} [/mm] mit x>0 konvergiert
für
=> a= x-1
=> b=-1
konvergiert das ganze
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Irgendwie scheinst du noch nicht verstanden zu haben, worum es überhaupt geht. Was bedeutet eigentlich Divergenz oder Konvergenz eines uneigentlichen Integrals
i) laut Definition
ii) anschaulich
Solange du in diesen Grundfragen noch ohne sichere Basis bist, kann man dir nicht wirklich helfen. Ich kann immer wieder nur darauf verweisen: Skizze! Skizze! Skizze!
Zum 3. Fall: [mm]a<0[/mm] und [mm]b \geq 0[/mm]
Den Sonderfall [mm]b=0[/mm] habe ich in einem vorigen Beitrag schon abgehandelt. Und im Falle [mm]b>0[/mm] gilt
[mm]t^a \operatorname{e}^{bt} \to \infty \ \ \mbox{für} \ \ t \to \infty[/mm]
(exponentielles Wachstum gegen polynomiales Wachstum)
Ein Integral über einen für [mm]t \to \infty[/mm] unbeschränkten Integranden kann aber NIEMALS konvergieren. Das Integral divergiert also.
Zeichne dir Skizzen, Skizzen, Skizzen, ...
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