uneigentliches Integral < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:14 Mi 31.08.2005 | | Autor: | shelter |
Hallo
Folgende Aufgabe sthet unter der Überschrift uneigentliches Integral:
[mm] \integral_{1}^{-1} {f(x^{-2/3}) dx}
[/mm]
Laut meine Büchern haben aber uneigentliche Integrale in einer oder beiden Grenzen ein + oder - [mm] \infty. [/mm]
Warum ist das dann ein uneigentliches Integral?
In der Musterlösung wird es in 2 Integrale mit neuen Grenzen (-t und h) aufgeteilt und dann mit limes (t bzw. h) gegen Null gelöst.
Als Ergebnis kommt 6 heraus.
Warum die auflösung in die 2 Integrale???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:34 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo shelter,
> Folgende Aufgabe sthet unter der Überschrift uneigentliches
> Integral:
>
> [mm]\integral_{1}^{-1} {f(x^{-2/3}) dx}[/mm]
>
> Laut meine Büchern haben aber uneigentliche Integrale in
> einer oder beiden Grenzen ein + oder - [mm]\infty.[/mm]
>
> Warum ist das dann ein uneigentliches Integral?
Man spricht auch von einem uneigentlichen Integral (manchmal sagt man "uneigentliches Integral 2. Art" dazu), wenn der Integrand im Integrationsbereich eine Definitionslücke hat.
Dies ist hier der Fall: An der Stelle x=0 ist der Integrand nicht definiert.
Also teilt man den Integrationsbereich an der Definitionslücke auf und definiert:
[mm] $\integral_{1}^{-1} {f(x^{-2/3}) dx}:=\limes_{{h\to0}\atop{h<0}} \integral_{h}^{-1} {f(x^{-2/3}) dx} [/mm] + [mm] \limes_{{h\to0}\atop{h>0}} \integral_{1}^{h} {f(x^{-2/3}) dx}$
[/mm]
(Ich habe hier deine Schreibweise übernommen, also dass die untere Grenze größer als die obere ist und als Integrand [mm] $\red{f(}x^{-2/3}\red{)}$)
[/mm]
> In der Musterlösung wird es in 2 Integrale mit neuen
> Grenzen (-t und h) aufgeteilt und dann mit limes (t bzw.
> h) gegen Null gelöst.
> Als Ergebnis kommt 6 heraus.
Das konnte ich nicht nachrechnen, da ich f nicht kenne (falls es kein Schreibfehler ist).
> Warum die auflösung in die 2 Integrale???
Ich hoffe, das ist nun klarer geworden.
Viele Grüße,
Marc
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Hallo shelter!
> Als Ergebnis kommt 6 heraus.
Falls Deine zu integrierende Funktion $f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel[3]{x^2}}$ [/mm] lautet, ist dieses Ergebnis richtig (Voraussetzung: es wird die reine Fläche gesucht, oder du vertauschst nochmal die Grenzen)!
Aus Symmetriegründen kannst Du Dein zu untersuchendes uneigentliches Integral auch folgendermaßen formulieren:
[mm] $\integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{\wurzel[3]{x^2}} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] 2*\limes_{t\rightarrow 0+}\integral_{t}^{1}{\bruch{1}{\wurzel[3]{x^2}} \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Aufpassen sollte man hier mit der reinen Potenzschreibweise [mm] $x^{-\bruch{2}{3}}$ [/mm] , da es in dieser Schreibweise nicht zwangsläufig für negative x-Werte definiert sein muss.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Roadrunner! 
> > Als Ergebnis kommt 6 heraus.
>
> Falls Deine zu integrierende Funktion [mm]f(x) \ = \ \bruch{1}{\wurzel[3]{x^2}}[/mm]
> lautet, ist dieses Ergebnis richtig (Voraussetzung: es wird
> die reine Fläche gesucht, oder du vertauschst nochmal die
> Grenzen)!
Also, ich bin gerade zufällig auf diese Aufgabe gestoßen, und da ich mich ja auch gerade mit uneigentlichen Integralen beschäftige (welch ein Zufall), habe ich die Aufgabe auch mal versucht. Allerdings weiß ich nicht, wie du denn da zu Ende gerechnet hast. Ich habe es so gemacht:
[mm] \integral_1^{-1}x^{-\bruch{2}{3}}\;dx [/mm] = [mm] \integral_1^hx^{-\bruch{2}{3}}\;dx [/mm] + [mm] \integral_h^{-1}x^{-\bruch{2}{3}}\;dx [/mm] = [mm] 3x^{\bruch{1}{3}}|_1^{h} [/mm] + [mm] 3x^{\bruch{1}{3}}|_h^{-1} [/mm]
Die Grenze h kann ich dann beide Male einsetzen, das kürzt sich ja dann weg, aber was mache ich mit -1? Das ist doch dann immer noch nicht definiert, oder?
Oder muss ich es zwangsläufig so machen, wie du unten beschrieben hast?
> Aus Symmetriegründen kannst Du Dein zu untersuchendes
> uneigentliches Integral auch folgendermaßen formulieren:
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{\wurzel[3]{x^2}} \ dx} \ = \ 2*\limes_{t\rightarrow 0+}\integral_{t}^{1}{\bruch{1}{\wurzel[3]{x^2}} \ dx} \ = \ ...[/mm]
>
>
> Aufpassen sollte man hier mit der reinen Potenzschreibweise
> [mm]x^{-\bruch{2}{3}}[/mm] , da es in dieser Schreibweise nicht
> zwangsläufig für negative x-Werte definiert sein muss.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane!
(Da Du mich so direkt ansprichst, werde ich Dir auch mal antworten ...)
andere Schreibweise : [mm] $x^{\bruch{1}{3}} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[3]{x}$
[/mm]
Und da gilt [mm] $(-1)^3 [/mm] \ = \ -1$ , kann man auch sagen [mm] $\wurzel[3]{-1} [/mm] \ = \ -1$ .
Ist Deine Frage damit beantwortet?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Was Roadrunner hier zu Recht meinte, ist etwas anderes:
Die Potenzfunktion
$x [mm] \mapsto x^{-\frac{2}{3}} [/mm] = [mm] e^{-\frac{2}{3} \ln(x)}$
[/mm]
ist strenggenommen zunächst nur für positive $x$ definiert, nicht für negative, da die [mm] $\ln$-Funktion [/mm] dort nur definiert ist. Man müsste also den Zweig der Wurzel wechseln.
Oder aber man versteht unter dieser Funktion gerade die Funktion
$x [mm] \mapsto \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$
[/mm]
oder
$x [mm] \mapsto \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Mi 31.08.2005 | | Autor: | shelter |
Hallo
Ja mit den Grenzen ist was schiefgegangen. Die sind falsch herum. Sorry.
Aber ist das bie Null denn nicht ein Pol? Weil ihr alle von einer Lücke sprecht? (Nenner =0, Zähler [mm] \not=0 [/mm] )
Habe alles auch mal in Matlab eingegeben und folgendes Ergebnis bekommen. ( [mm] \infty+ \infty*j)
[/mm]
Einen Plot von Matlab ist im Anhang
Wenn ich mir den Plot anschaue verstehe immer noch nicht warum der endliche Wert 6 rauskommt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ein Pol ist auch eine Definitionslücke.
Was du meinst, sind hebbare Definitionslücken.
> Wenn ich mir den Plot anschaue verstehe immer noch nicht
> warum der endliche Wert 6 rauskommt.
Wieso? Die Fläche läuft eben so spitz zu, dass die Folge der Teilflächen konvergiert, d.h. also dass die Fläche endlich ist.
Es gibt nun mal auch nicht beschränkte integrierbare Funktionen...
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo shelter!
Da muss aber irgendwas bei Deiner Eingabe schief gelaufen sein ...
Der Funktionsgraph sieht nämlich so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Mi 31.08.2005 | | Autor: | shelter |
Ja und da steh ich wieder vor dem Problem.
was ist [mm] x^{-2/3}
[/mm]
Meiner Meinung nach ist das doch [mm] \bruch{1}{ \wurzel[3]{x^2}}.
[/mm]
durch das [mm] x^2 [/mm] kommt doch immer ein pos. Ergebnis heraus? Zumindest bei mir. In Matlab nicht. Als Ergebnis des Integrals kommt bei Matlab auch [mm] \infty* \infty*j [/mm] raus und nicht 6.
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Hallo shelter!
Also, ich verstehe nicht, wo dein Problem liegt. Ich habe die Aufgabe doch quasi schon vorgerechnet!? siehe hier!
> Ja und da steh ich wieder vor dem Problem.
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> was ist [mm]x^{-2/3}[/mm]
>
> Meiner Meinung nach ist das doch [mm]\bruch{1}{ \wurzel[3]{x^2}}.[/mm]
>
> durch das [mm]x^2[/mm] kommt doch immer ein pos. Ergebnis heraus?
Tut es doch auch!? Sieh dir doch mal Roadrunners Skizze an: Skizze
> Zumindest bei mir. In Matlab nicht. Als Ergebnis des
> Integrals kommt bei Matlab auch [mm]\infty* \infty*j[/mm] raus und
> nicht 6.
Was bedeutet denn das j? Ist das vielleicht die imaginäre Einheit? (Anscheinend wird die ja ab und zu mit j statt mit i bezeichnet.) Jedenfalls könnte es dann sein, dass das ganze in [mm] \IC [/mm] anders aussieht, ich bin hier nur von [mm] \IR [/mm] ausgegangen.
Aber wenn man selber rechnen kann, und ich habe es ja gerechnet, dann sollte man sich lieber darauf verlassen als auf ein Programm, vor allem, wenn man schon so viel Zustimmung dafür erhalten hat. Bei Programmen kann es immer passieren, dass man einen Eingabefehler macht bzw. das Programm die Eingabe anders deutet, als man sie haben möchte.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
Und somit natürlich die Ausgangsfunktion für -1 definiert war, und das hier ist ja nicht so wirklich viel anders...
