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| Aufgabe | Existiert folgendes uneigentliches Integral?
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{Arctan x}{x^{\bruch{3}{2}}}dx} [/mm] |
suche den Ansatz für folgendes uneigentliches Integral. Leider bekomm ich schon die Integration nicht hin. Partielle Integration macht meiner Meinung nach keinen Sinn. Würde gerne was substituieren, hab aber keinen blassen Schimmer was. Kann mir Jemand einen Tipp geben?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Do 10.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Existiert folgendes uneigentliches Integral?
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> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{Arctan x}{x^{\bruch{3}{2}}}dx}[/mm]
>
> suche den Ansatz für folgendes uneigentliches Integral.
> Leider bekomm ich schon die Integration nicht hin.
> Partielle Integration macht meiner Meinung nach keinen
> Sinn. Würde gerne was substituieren, hab aber keinen
> blassen Schimmer was. Kann mir Jemand einen Tipp geben?
Ich wüsste auch nicht, wie man dieses Integral ausrechnet, aber es ist ja nicht nach dem Wert, sondern nach der Existenz gefragt.
Der Integrand divergiert an der unteren Grenze. Daher hast du sowohl an der oberen als auch an der unteren Grenze einen Grenzwert zu bilden und nachzuweisen, dass er existiert. Ich würde daher das Integral in zwei Teile zerlegen, zum Beispiel
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{\arctan x}{x^{\bruch{3}{2}}}dx} = \integral_{0}^{1}{\bruch{\arctan x}{x^{\bruch{3}{2}}}dx} + \integral_{1}^{\infty}{\bruch{\arctan x}{x^{\bruch{3}{2}}}dx} [/mm]
[mm] = \limes_{\varepsilon\to 0} \integral_{\varepsilon}^{1}{\bruch{\arctan x}{x^{\bruch{3}{2}}}dx} + \limes_{u\to\infty}\integral_{1}^{u}{\bruch{\arctan x}{x^{\bruch{3}{2}}}dx} [/mm]
Da der Integrand im gesamten Integrationsintervall positiv ist, kannst du das erste Integral mittels [mm] $\arctan x\le [/mm] x$ für [mm] $x\in[0,\infty)$ [/mm] abschätzen.
Versuche mal, für das zweite Integral selbst eine passende Abschätzung zu finden!
Viele Grüße
Rainer
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Ich wüsste auch nicht, wie man dieses Integral ausrechnet,
> aber es ist ja nicht nach dem Wert, sondern nach der
> Existenz gefragt.
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> Der Integrand divergiert an der unteren Grenze. Daher hast
> du sowohl an der oberen als auch an der unteren Grenze
> einen Grenzwert zu bilden und nachzuweisen, dass er
> existiert. Ich würde daher das Integral in zwei Teile
> zerlegen, zum Beispiel
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{\arctan x}{x^{\bruch{3}{2}}}dx} = \integral_{0}^{1}{\bruch{\arctan x}{x^{\bruch{3}{2}}}dx} + \integral_{1}^{\infty}{\bruch{\arctan x}{x^{\bruch{3}{2}}}dx}[/mm]
>
> [mm]= \limes_{\varepsilon\to 0} \integral_{\varepsilon}^{1}{\bruch{\arctan x}{x^{\bruch{3}{2}}}dx} + \limes_{u\to\infty}\integral_{1}^{u}{\bruch{\arctan x}{x^{\bruch{3}{2}}}dx}[/mm]
>
> Da der Integrand im gesamten Integrationsintervall positiv
> ist, kannst du das erste Integral mittels [mm]\arctan x\le x[/mm]
> für [mm]x\in[0,\infty)[/mm] abschätzen.
ehrlich gesagt versteh ich nicht so genau, was ich jetzt mit dem x machen soll. kann ich das einfach für arctanx einsetzen?
ich würde das zweite Integral mit [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] abschätzen. das kann ja eigentlich nicht sein, weil [mm] \limes_{n\varepsilon\0} [/mm] dafür nicht existiert oder?
tut mir leid, wenn ich auf dem Schlauch stehe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Do 10.07.2008 | | Autor: | HeinBloed |
[mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\0} [/mm] meine ich in der Frage drüber (gegen 0) klappt irgendwie nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Do 10.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\0}[/mm] meine ich in der Frage
> drüber (gegen 0) klappt irgendwie nicht.
Du hasst \varepsilon\rightarrow\0 statt \varepsilon\rightarrow 0 geschrieben. Der [mm] $\backslash$ [/mm] vor der 0 ist zuviel.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Do 10.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ehrlich gesagt versteh ich nicht so genau, was ich jetzt
> mit dem x machen soll. kann ich das einfach für arctanx
> einsetzen?
Ja, so meine ich das:
[mm] \bruch{\arctan x}{x^{3/2}} \le \bruch{x}{x^{3/2}} = \dots [/mm]
Also:
[mm] \integral_{\varepsilon}^1 \bruch{\arctan x}{x^{3/2}} dx \le \integral_{\varepsilon}^1 \bruch{x}{x^{3/2}} dx [/mm].
> ich würde das zweite Integral mit [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> abschätzen. das kann ja eigentlich nicht sein, weil
> [mm]\limes_{n\varepsilon\0}[/mm] dafür nicht existiert oder?
Mal dir mal die Funktionen [mm] $\bruch{\arctan x}{x^{3/2}}$ [/mm] und [mm] $\bruch{1}{x^{2}}$ [/mm] auf, dann siehst du, dass [mm] $\bruch{1}{x^{2}}$ [/mm] schneller abfällt. Das geht also nicht. Aber bedenke, dass [mm] $\arctan x\le \pi/2$ [/mm] ist!
Viele Grüße
Rainer
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>
> [mm]\bruch{\arctan x}{x^{3/2}} \le \bruch{x}{x^{3/2}} = \dots[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]\integral_{\varepsilon}^1 \bruch{\arctan x}{x^{3/2}} dx \le \integral_{\varepsilon}^1 \bruch{x}{x^{3/2}} dx [/mm].
>
> > ich würde das zweite Integral mit [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> > abschätzen. das kann ja eigentlich nicht sein, weil
> > [mm]\limes_{n\varepsilon\0}[/mm] dafür nicht existiert oder?
>
> Mal dir mal die Funktionen [mm]\bruch{\arctan x}{x^{3/2}}[/mm] und
> [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm] auf, dann siehst du, dass [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> schneller abfällt. Das geht also nicht. Aber bedenke, dass
> [mm]\arctan x\le \pi/2[/mm] ist!
leider hilft mir das nicht weiter. hab mir verschiedene funktionen angeguckt, aber von denen erscheint mir keine besonders geeignet. irgendwie weiß ich gar nicht genau, wonach ich eigentlich suche :(. gibst du mir bitte noch einen tipp?
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ah hab da so ne idee. kann ich vllt tan x nehmen? komme darauf weil tan x bei [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] auch nicht definiert ist. eine richtige erklärung weiß ich allerdings nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Do 10.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
rainer hat dir doch die einfachst fkt, die größer als arctanx ist gesagt, und wenn du dir den Verlauf von arctan ansiehst ist eigentlich klar, was da immer drüber liegt!
Gruss leduart
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könnte ich mit [mm] e^{x} [/mm] arbeiten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Fr 11.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
natürlich ist [mm] arctanx
du willst doch nicht irgendwas , sondern arctanx möglichst klein abschätzen!
Gruss leduart
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Ja klar, hab die funktion die ganze zeit vor mir liegen. guck mir auch alle anderen trigonometrischen funktionen an, aber ich finde keine, die drüber liegt und das möglichst knapp.
mir ist ja auch bewusst, dass arctanx sich [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] immer weiter annähert. das hilft mir aber auch nicht weiter, bei der überlegung, mit welcher fkt ich arctanx abschätze.
muss ich die funktion überhaupt mit einer anderen abschätzen? wenn ich weiß, dass [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\infty} [/mm] arctan x = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ist, konvergiert die funktion doch.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Fr 11.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> mir ist ja auch bewusst, dass arctanx sich [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> immer weiter annähert. das hilft mir aber auch nicht
> weiter, bei der überlegung, mit welcher fkt ich arctanx
> abschätze.
Mit der Konstanten [mm] $\pi/2$:
[/mm]
[mm] \integral_1^u\bruch{\arctan x}{x^{3/2}}dx \le \bruch{\pi}{2} \integral_1^u \bruch{dx}{x^{3/2}} [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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