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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Mi 02.07.2008 | | Autor: | klac |
| Aufgabe | Ist das Integral [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x/1+x^2 dx}
[/mm]
konvergent o.divergent? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, wollte mal fragen ob mein Gedankengang richtig ist.
1.Die Stammfunktion ist F(x)= [mm] \bruch{1}{2} ln(1+x^2) [/mm] + C
2.Wenn ich [mm] \limes_{x\rightarrow\pm\infty} [/mm] mache bekomme ich
F(x) = [mm] (+\infty [/mm] - [mm] +\infty)=0 heraus.((-\infty^2 =+\infty)) [/mm] >>> es konvergiert
So ich weis das dies alles nicht allzu mathematisch korrekt hingeschrieben ist, aber ich hoffe ihr versteht mich und könnt mir sagen ob mein gedankengang richtig ist.
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Hallo
das stimmt so nicht ganz. Dieses Integral ist schlicht nicht definiert, denn [mm] \infty-\infty\not=0 [/mm] sondern dieser Term ist nicht definiert.
also ist es zumindest denke ich mal nicht konvergent.
Einen schönen Abend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Mi 02.07.2008 | | Autor: | klac |
Also erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort.
Das mit [mm] (+\infty -\infty)= [/mm] undef. hab ich übersehen.
Kann man sagen, sobald etwas undef.(wenn man limes anwendet) bei solchen Aufgabestellungen auftaucht, dass das Integral divergiert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo klac!
Eine derartige pauschale Aussage ist nicht möglich, da es sich bei [mm] $\infty-\infty$ [/mm] um einen unbestimmten Ausdruck handelt.
Du kannst Dein Integral aber aus Symmetriegründen wie folgt umformen:
[mm] $$\integral_{-\infty}^{+\infty}{\bruch{x}{1+x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{a\rightarrow+\infty}\integral_{-a}^{+a}{\bruch{x}{1+x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] 2*\limes_{a\rightarrow+\infty}\integral_{0}^{a}{\bruch{x}{1+x^2} \ dx} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:51 Mi 02.07.2008 | | Autor: | blascowitz |
Hallo
also ich denke so stimmt zumindest die symetrieaussage nicht.
Also es gilt
[mm] \limes_{a \rightarrow +\infty} \int_{-a}^{a}\bruch{x}{x^2+1}\overbrace{=}^{Punktsymetrie}=\limes_{a \rightarrow \infty}0=0. [/mm]
Das gilt, weil eine Punktsymetrische Funktion auf einem symtrischen Intervall immer das Integral $=0$ hat.
Wenn du das so ausrechnest ist das Integral konvergent der Wert ist Null.(Das hat auch einen Namen das heißt das Cauchyscher Hauptwert vom Integral) Wenn man das wirklich stur über das Riemann Integral ausrechnet erhält man halt [mm] \infty-\infty. [/mm]
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