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| Aufgabe | ich soll bestimmen, ob das uneigentliche Riemann Integral konvergent ist.
a) [mm] \integral_{1}^{\infty}{\frac{sin(x)}{x^{\alpha}} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{\infty}{sin(x^2) dx}
[/mm]
[mm] c)\integral_{0}^{1}{\frac{1}{log(x)} dx} [/mm] |
Hey
ich stehe hier leider ziemlich auf den Schlauch, da ich leider in den Vorlesungen nicht anwesend sein konnte ich ich im Internet leider nicht genug Informationen über die Konvergenz eines uneiegentlichen Integrals finde.
Also ich komme soweit:
a) [mm] \integral_{1}^{\infty}{\frac{sin(x)}{x^{\alpha}} dx}= \limes_{c \to \infty}\integral_{1}^{c}{\frac{sin(x)}{x^{\alpha}} dx}
[/mm]
jetzt muss ich das Integral wahrscheinlich irgendwie abschätzen. Ich weiß nur leider nicht wie. oder macht es an dieser Stelle mehr Sinn patiell zu integrieren?
wenn ich patiell Integriere erhalte ich jedoch keine eindeutige Lösung..
b) ..
c) darf ich hier das Integral durch [mm] \frac{1}{ln(x)} \ge \frac{1}{x} [/mm] abschätzen ? denn der Integrand des letzteren in den angegebenen Grenzen ist ja divergent
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Sa 17.05.2014 | | Autor: | hippias |
> Hey
> ich stehe hier leider ziemlich auf den Schlauch, da ich
> leider in den Vorlesungen nicht anwesend sein konnte ich
> ich im Internet leider nicht genug Informationen über die
> Konvergenz eines uneiegentlichen Integrals finde.
In jedem Einfuehrungsbuch in die Analysis duerften ausreichend Kriterien zu diesem Problem behandelt werden. Hat Google dir das nicht verraten?
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Hey
leider ist es in diesem einem Buch was ich besitze meiner Meinung nach, zu kompliziert erklärt um es ohne weitere Hilfsmittel oder Anhaltspunkte zu verstehen
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Sa 17.05.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Welche Konvergenzkriterien kennst du denn bisher?
Da gibt es z.B.:
- das Majorantenkriterium
- das Wurzelkriterium
- das Qotientenkriterium
Von diesen solltest du schon etmal etwas gehört haben
Etwas seltener behandelt wird das Vergleichskriterium
Zum Nachweis der Divergenz kannst du evtl das Majorantenkriterium zum "Minorantenkriterium" umbauen, findest du eine Minorante, ist die Reihe divergent.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Sa 17.05.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ich soll bestimmen, ob das uneigentliche Riemann Integral
> konvergent ist.
> a) [mm]\integral_{1}^{\infty}{\frac{sin(x)}{x^{\alpha}} dx}[/mm]
>
Ist dir bekannt, dass [mm] \int\limits_{0}^{\infty} [/mm] konvergent ist?
Und für [mm] \alpha>1 [/mm] sowie x>1 ist [mm] x^{\alpha}>x
[/mm]
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Sa 17.05.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
>
> b) [mm]\integral_{0}^{\infty}{sin(x^2) dx}[/mm]
>
Hier würde ich mal versuchen, mit der Potenzreihenentwicklung des Sinus zu arbeiten, ob das zum Ziel führt, weiss ich aber gerade nicht.
Marius
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Hey
du meinst also:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{sin(x^2) dx}=\integral_{0}^{\infty}{(-1)^{n}*\frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{x}{1}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...+...} [/mm] ?
nur abschätzen macht an dieser Stelle nicht all zu viel Sinn, oder?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 So 18.05.2014 | | Autor: | LinaWeber |
hallihallo
kann jemand bitte den Fälligkeitszeitpunkt verschieben?
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 So 18.05.2014 | | Autor: | M.Rex |
> hallihallo
> kann jemand bitte den Fälligkeitszeitpunkt verschieben?
> Danke
Ist erledigt.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 21.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Sa 17.05.2014 | | Autor: | M.Rex |
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> [mm]c)\integral_{0}^{1}{\frac{1}{log(x)} dx}[/mm]
>
> c) darf ich hier das Integral durch [mm]\frac{1}{ln(x)} \ge \frac{1}{x}[/mm]
> abschätzen ? denn der Integrand des letzteren in den
> angegebenen Grenzen ist ja divergent
Hier würde ich auch mal mit der Reihenentwicklung des LN argumentieren.
Außerdem könnte helfen, dass für [mm] x\approx1 [/mm] gilt
[mm] \frac{1}{\ln(x)}\approx\frac{1}{x-1}
[/mm]
Marius
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