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| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren und bestimmen Sie deren Wert:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{ln (x)}{x} dx} [/mm] |
Hallo,
meine Frage dazu wäre folgende:
Ich habe das Integral berechnet und komme auf das Ergebnis [mm] \bruch{1}{2}ln^2(x)+C.
[/mm]
Versuche ich jetzt die Grenzen einzusetzen ensteht ja folgendes:
[mm] \bruch{1}{2}ln^2(1)-\bruch{1}{2}ln^2(0).
[/mm]
Jetzt ist es doch aber so, dass der ln von 0 nicht definiert ist. Heißt das jetzt, dass dieses uneigentliche Integral nicht existiert oder das ich den hinteren Teil ignorieren soll oder habe ich einen Fehler gemacht?
Ich tippe ja darauf, dass dieser Teil ins unendliche geht aber was ist jetzt richtig?
Danke schonmal!
Kalia
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Hallo,
> Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale
> existieren und bestimmen Sie deren Wert:
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{ln (x)}{x} dx}[/mm]
> Hallo,
>
> meine Frage dazu wäre folgende:
> Ich habe das Integral berechnet und komme auf das Ergebnis
> [mm]\bruch{1}{2}ln^2(x)+C.[/mm]
Das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Versuche ich jetzt die Grenzen einzusetzen ensteht ja
> folgendes:
> [mm]\bruch{1}{2}ln^2(1)-\bruch{1}{2}ln^2(0).[/mm]
> Jetzt ist es doch aber so, dass der ln von 0 nicht
> definiert ist. Heißt das jetzt, dass dieses uneigentliche
> Integral nicht existiert oder das ich den hinteren Teil
> ignorieren soll oder habe ich einen Fehler gemacht?
Es heißt, dass dieses Integral nicht existiert und du hast alles richtig gemacht.
> Ich tippe ja darauf, dass dieser Teil ins unendliche geht
> aber was ist jetzt richtig?
Auch dein Tipp ist natürlich richtig, über das Vorzeichen könnte man diskutieren. Es hängt davon ab, was du mit dem hintern Teil genau meinst. 
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Sa 02.02.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo WhiteKalia!
Streng genommen musst Du bei derartigen uneigentlichen Integralen eine Grenzwertbetrachtung durchführen, denn für [mm]x_0 \ = \ 0[/mm] ist bereits der Integrand nicht definiert:
[mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{\ln(x)}{x} \ dx} \ = \ \limes_{a\rightarrow 0^+}\integral_{a}^{1}{\bruch{\ln(x)}{x} \ dx} \ = \ \limes_{a\rightarrow 0^+}\left[ \ \bruch{1}{2}*\ln^2(x) \ \right]_a^1 \ = \ \bruch{1}{2}*\limes_{a\rightarrow 0^+}\left[ \ \ln^2(1)-\ln^2(a) \ \right] \ = \ -\bruch{1}{2}*\limes_{a\rightarrow 0^+}\ln^2(a)[/mm]
Und spätestens jetzt merkst Du, dass dieser Grenzwert nicht existiert und damit auch nicht das uneigentliche Integral.
Gruß
Loddar
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