uneigentliche Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:04 Mi 02.02.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Existiert folgendes uneigentliches Intagral?Bestimme gegebenfalls dessen Wert.
[mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{dx}{x^2-1}} [/mm] |
Hallo, wollte versuchen die Aufgabe zu lösen, komm aber irgendwie nicht weiter:(
Dachte da könnte man mit Substitution rangehen, aber das klappt nicht. Habe [mm] t=x^2-1 [/mm] gesetzt also is t'=2x und [mm] x*dx=\bruch{1}{2}*dt [/mm] aber ich kann ja x*dx nicht einsetzen weil x*dx gibts ja nich:(
Wär für einen Denkanstoß echt dankbar^^
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Mi 02.02.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo David!
Hier führt eine  Partialbruchzerlegung zum Ziel. Es gilt:
[mm]\bruch{1}{x^2-1} \ = \ \bruch{1}{(x-1)*(x+1)} \ = \ \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Mi 02.02.2011 | | Autor: | David90 |
Ok alles klar^^
dann hab ich beide Seiten mit (x-1)(x+1) multipliziert und komme auf 1=A(x+1)+B(x-1), ausmultipliziert und nach Koeffizienten geordnet ist das 1=x(A+B)+A-B also hat man die erste Gleichung: 0=A+B und 1=A-B und dann kommt man auf [mm] A=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] B=-\bruch{1}{2}. [/mm] Dann steht da: [mm] \bruch{1}{(x+1)(x-1)}= \bruch{1}{2x-2}-\bruch{1}{2x+2}
[/mm]
Jetzt bildet man einfach ein Stammfunktion oder? Das wär ja dann ln|2x-2|-ln|2x+2| oder? Wenn man die Grenzen einsetzt kommt man auf ln2-ln2, also 0. Müsste stimmen oder?^^
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Mi 02.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie hast du denn die Grenzen gewählt* der kritische wert liegt doch bei x=1? also da, wo der Integrand gegen [mm] \infty [/mm] geht?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Do 03.02.2011 | | Autor: | David90 |
Achso du meinst ich soll das Integral teilen und einmal die Grenzen 0-1 und dann 1-2 wählen oder was?^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Do 03.02.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo David!
Genau. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Fr 04.02.2011 | | Autor: | David90 |
Achso alles klar^^ naja die PBZ müsste ja stimmen denk ich mal. Also heißt es [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{2x-2}-\bruch{1}{2x+2} dx}+\integral_{1}^{2}{\bruch{1}{2x-2}-\bruch{1}{2x+2} dx}, [/mm] davon dann eine Stammfunktion is ja ln|2x-2|-ln|2x+2| aber wenn man jetzt die Grenzen einsetzt staht ja ln0 und das ist ja nicht definiert :O
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Fr 04.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
also musst du wieder nicht die grenze 1 einsetzen, sondern a und dann a gegen 1
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Fr 04.02.2011 | | Autor: | David90 |
Achso dann muss es wohl eher so heißen: [mm] \limes_{a\rightarrow1}\integral_{0}^{a}{\bruch{1}{2x-2}-\bruch{1}{2x+2} dx}+ \limes_{a\rightarrow1}\integral_{a}^{2}{\bruch{1}{2x-2}-\bruch{1}{2x+2} dx} [/mm] und das ist dann [mm] \limes_{a\rightarrow1}ln|2x-2|+\limes_{a\rightarrow1}ln|2x+2|. [/mm] Dann setz ich die Grenzen ein und komm auf ln|2a-2|-ln|2a+2|-ln2+ln2+ln2-ln6-ln|2a-2|+ln|2a+2| und dann wär dann [mm] \limes_{a\rightarrow1}ln2-ln6 [/mm] :O Muss der Limes, obwohl keina mehr drin ist trotzdem davor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Fr 04.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Integrale haben noch nen Fehler. am besten zieh aus allen zuerst den Faktor 1/2 raus und integrier dann, aber sonst ist das vorgehen richtig. Sobald du den lim gebildet hast kannst du ihn natürlich weglassen,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Sa 05.02.2011 | | Autor: | David90 |
Ok dann hab ich jetzt das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] rausgezogen und dann steht da [mm] \limes_{a\rightarrow1}\bruch{1}{2}\integral_{0}^{a}\bruch{1}{x-1}-\bruch{1}{x+1}+\limes_{a\rightarrow1}\bruch{1}{2}\integral_{a}^{2}{\bruch{1}{x-1}-\bruch{1}{x+1} dx}. [/mm] Wenn ich nun die Grenzen einsetze komme ich auf: [mm] \limes_{a\rightarrow1} \bruch{1}{2}ln|a-1|-\bruch{1}{2}ln|a+1|-\bruch{1}{2}ln3-\bruch{1}{2}ln|a-1|+\bruch{1}{2}ln|a+1| [/mm] und das sind dann [mm] -\bruch{1}{2}ln3 [/mm] wenn ich mich nicht irre:)
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Hallo David90,
> Ok dann hab ich jetzt das [mm]\bruch{1}{2}[/mm] rausgezogen und dann
> steht da
> [mm]\limes_{a\rightarrow1}\bruch{1}{2}\integral_{0}^{a}\bruch{1}{x-1}-\bruch{1}{x+1}+\limes_{a\rightarrow1}\bruch{1}{2}\integral_{a}^{2}{\bruch{1}{x-1}-\bruch{1}{x+1} dx}.[/mm]
> Wenn ich nun die Grenzen einsetze komme ich auf:
> [mm]\limes_{a\rightarrow1} \bruch{1}{2}ln|a-1|-\bruch{1}{2}ln|a+1|-\bruch{1}{2}ln3-\bruch{1}{2}ln|a-1|+\bruch{1}{2}ln|a+1|[/mm]
> und das sind dann [mm]-\bruch{1}{2}ln3[/mm] wenn ich mich nicht
> irre:)
Ja, das stimmt.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Sa 05.02.2011 | | Autor: | David90 |
Super:) danke dir/euch ;)
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