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| Aufgabe | prüfen sie aus Existenz des uneigentlichen Integrals
[mm] f(x)=\integral_{0}^{\infty}{x*e^{-x^3} dx} [/mm] |
also wir haben immer getestet ob die grenzwerte der stammfunktion existieren, also ob [mm] \limes_{x\rightarrow\infty^+}F(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\0^-}F(x) [/mm] existieren, das problem ist die stammfkt
uneig. substitution kann ich nicht anwenden, also uneigentliche partielle integration, hab beides schon ausprobiert, nehme aber als G=x
[mm] f(x)=\integral_{0}^{\infty}{x*e^{-x^3} dx}=x*\bruch{-1}{3x^2}*e^{-x^3}+ \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{3x^2}*e^{-x^3} dx}
[/mm]
so jetzt muss ich wieder ein integral berechnen von einem produkt mit der e-fkt.
jetzt hab ich das gefühl das geht jetzt unendlich oft weiter
binich auf dem richtigen weg? oder ist das ein zeichen das es unintegrierbar ist?
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Hallo Kinghenni,
> prüfen sie aus Existenz des uneigentlichen Integrals
> [mm]f(x)=\integral_{0}^{\infty}{x*e^{-x^3} dx}[/mm]
> also wir haben
> immer getestet ob die grenzwerte der stammfunktion
> existieren, also ob [mm]\limes_{x\rightarrow\infty^+}F(x)[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0^-}F(x)[/mm] existieren, das problem ist
> die stammfkt
> uneig. substitution kann ich nicht anwenden, also
> uneigentliche partielle integration, hab beides schon
> ausprobiert, nehme aber als G=x
> [mm] $f(x)=\integral_{0}^{\infty}{x*e^{-x^3} dx}=x*\red{\bruch{-1}{3x^2}*e^{-x^3}}+ \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{3x^2}*e^{-x^3} dx}$
[/mm]
Wenn du den roten Ausdruck wieder ableitest, kommst du niemals nicht wieder auf [mm] $e^{-x^3}$ [/mm] ...
>
> so jetzt muss ich wieder ein integral berechnen von einem
> produkt mit der e-fkt.
> jetzt hab ich das gefühl das geht jetzt unendlich oft
> weiter
> binich auf dem richtigen weg?
Partielle Integration führt hier nicht weit, man kann für das unbestimmte Integral keine Stammfunktion in geschlossener Form angeben ...
> oder ist das ein zeichen das
> es unintegrierbar ist?
Nein, dieses Integral existiert, du musst durch geschickte Abschätzung zeigen, dass [mm] $\int\limits_{0}^{\infty}{x\cdot{}e^{-x^3} \ dx} [/mm] \ < \ [mm] \infty$ [/mm] ist
Dazu zerlege mal das Integral additiv in [mm] $\int\limits_{0}^{1}{x\cdot{}e^{-x^3} \ dx} [/mm] \ + \ [mm] \int\limits_{1}^{\infty}{x\cdot{}e^{-x^3} \ dx}$
[/mm]
Für [mm] $0
Damit [mm] $e^0
Damit (Kehrbruch) [mm] $\frac{1}{e^{x^3}}=e^{-x^3}<1=\frac{1}{e^0}$
[/mm]
Damit solltest du das erste Integral abschätzen können.
Für das zweite mit [mm] $x\ge [/mm] 1$ folgt ähnlich [mm] $x^3\ge x^2$, [/mm] also [mm] $e^{x^3}\ge e^{x^2}$ [/mm] und damit [mm] $e^{-x^3}\le e^{-x^2}$
[/mm]
Also [mm] $\int\limits_{1}^{\infty}{x\cdot{}e^{-x^3} \ dx} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \int\limits_{1}^{\infty}{x\cdot{}e^{-x^2} \ dx}$
[/mm]
Und das kannst du mit einer einfachen Substitution berechnen.
Weise also mit diesen Hinweisen noch explizit nach, dass beide Teilintegrale endlich sind, dann ist es die Summe, also dein Ausgangsintegral auch
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:27 Sa 25.07.2009 | | Autor: | Kinghenni |
danke :)
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