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| Aufgabe | Berechne das Integral:
I = [mm] \integral {\bruch{sin^{2}x}{cosx} dx}
[/mm]
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okay, mein Problem ist, ich habe zwei verschiedene Lösungen, deshalb würde ich gerne wissen, ob ich bei der Aufgabe einen blöden Fehler gemacht habe oder ob man einen Weg zu bevorzugen hat oder ob es möglich sein kann, zwei verschiedene Lösungen herauszubekommen? Mir geht es wieder mehr um das allgemeine Verständnis, damit ich in Zukunft sicherer mit dem Thema umgehen kann.
1. Lösung:
I = [mm] \integral {\bruch{sin^{2}x}{cosx} dx} [/mm] = [mm] \integral {\bruch{-sinx}{cosx} (-sinx) dx}
[/mm]
Substitution: cosx = u, [mm] \bruch{du}{dx}= [/mm] -sinx, du=-sinx dx, u' = -sinx
[mm] \Rightarrow [/mm] I = [mm] \integral {\bruch{u'}{u} du} [/mm] = ln|u| + C
Rücksubstitution: u = cosx
[mm] \Rightarrow [/mm] I = ln|cosx| + C
2. Lösung:
I = [mm] \integral {\bruch{sin^{2}x}{cosx} dx} [/mm] = [mm] \integral {\bruch{1-cos^{2}x}{cosx} dx} [/mm] = [mm] \integral {\bruch{1}{cosx} dx} [/mm] - [mm] \integral {\bruch{cos^{2}x}{cosx} dx} [/mm] = [mm] \integral {\bruch{1}{cosx} dx} [/mm] - [mm] \integral [/mm] cosx dx = tanx - sinx + C
Ich bin sehr gespannt :), Ich hoffe gleich auf ein "Aha"-Effekt bei mir :)
Besten Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Mi 14.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Die 1. Lösung ist korrekt.
Bei der 2. Lösung machst Du hier einen Fehler:
$ [mm] \integral {\bruch{1}{cosx} dx} [/mm] $ - $ [mm] \integral [/mm] $ cosx dx = tanx - sinx + C .
[mm] \integral {\bruch{1}{cosx} dx} \not= [/mm] tanx !!!
Es ist (tanx)' = [mm] \bruch{1}{cos^2x}, [/mm] also [mm] \integral {\bruch{1}{cos^2x} dx} [/mm] = tanx
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Fred!
> Die 1. Lösung ist korrekt.
Sicher? Durch Ableiten der vermeintlichen Stammfunktion erhalte ich aber nicht die Ausgangsfunktion.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 Mi 14.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred!
>
>
> > Die 1. Lösung ist korrekt.
>
> Sicher? Durch Ableiten der vermeintlichen Stammfunktion
> erhalte ich aber nicht die Ausgangsfunktion.
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
Da war ich zu voreilig ! Du hast völlig recht.
Dann sind beide Lösungen falsch
FRED
>
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Hallo matzew611,
> Berechne das Integral:
> I = [mm]\integral {\bruch{sin^{2}x}{cosx} dx}[/mm]
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> okay, mein Problem ist, ich habe zwei verschiedene
> Lösungen, deshalb würde ich gerne wissen, ob ich bei der
> Aufgabe einen blöden Fehler gemacht habe oder ob man einen
> Weg zu bevorzugen hat oder ob es möglich sein kann, zwei
> verschiedene Lösungen herauszubekommen? Mir geht es wieder
> mehr um das allgemeine Verständnis, damit ich in Zukunft
> sicherer mit dem Thema umgehen kann.
>
> 1. Lösung:
>
> I = [mm]\integral {\bruch{sin^{2}x}{cosx} dx}[/mm] = [mm]\integral {\bruch{-sinx}{cosx} (-sinx) dx}[/mm]
>
> Substitution: cosx = u, [mm]\bruch{du}{dx}=[/mm] -sinx, du=-sinx dx,
> u' = -sinx
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] I = [mm]\integral {\bruch{u'}{u} du}[/mm] = ln|u| + C
>
> Rücksubstitution: u = cosx
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] I = ln|cosx| + C
>
>
> 2. Lösung:
>
> I = [mm]\integral {\bruch{sin^{2}x}{cosx} dx}[/mm] = [mm]\integral {\bruch{1-cos^{2}x}{cosx} dx}[/mm]
> = [mm]\integral {\bruch{1}{cosx} dx}[/mm] - [mm]\integral {\bruch{cos^{2}x}{cosx} dx}[/mm]
> = [mm]\integral {\bruch{1}{cosx} dx}[/mm] - [mm]\integral[/mm] cosx dx = tanx
> - sinx + C
Wähle für das Integral die Substitution
[mm]u=\sin\left(x\right) \Rightarrow du = \cos\left(x\right) \ dx[/mm]
Dann ist
[mm]I = \integral {\bruch{sin^{2}x}{cosx} dx}=\integral {\bruch{u^{2}}{cosx} \ \bruch{1}{\cos\left(x\right)} \ du}=\integral {\bruch{u^{2}}{1-u^{2}} \ du}[/mm]
Und dieses Integral kannst Du nun berechnen.
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> Ich bin sehr gespannt :), Ich hoffe gleich auf ein
> "Aha"-Effekt bei mir :)
>
> Besten Dank!
Gruß
MathePower
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Erstmal danke für die Mühe von euch allen.. ich verzweifel, warum mache ich immer so viele Fehler?! Und wie kommt ihr immer auf die richtigen Ansätze? Irgendwie sehe ich das meistens einfach nicht.. Kommt das einfach mit der Übung.. oder bin ich zu dumm :)...
ich habe es nun wie folgt weitergerechnet:
[mm] -\integral {\bruch{u^{2}}{u^{2}-1} du} [/mm] = [mm] -\integral {(1-\bruch{u^{2}}{1}) du} [/mm] = [mm] -\integral [/mm] 1 du + [mm] \integral {u^{2} du} [/mm] = -u + [mm] \bruch{1}{3}u^{3} [/mm] + C
Rücksubstitution: u = sinx
I = -sinx + [mm] \bruch{1}{3}sin^{3}x [/mm] + C
lasst mich raten wieder falsch, irgendwie ist der wurm drin..
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Hallo matzew611,
> Erstmal danke für die Mühe von euch allen.. ich verzweifel,
> warum mache ich immer so viele Fehler?! Und wie kommt ihr
> immer auf die richtigen Ansätze? Irgendwie sehe ich das
> meistens einfach nicht.. Kommt das einfach mit der Übung..
> oder bin ich zu dumm :)...
>
> ich habe es nun wie folgt weitergerechnet:
>
> [mm]-\integral {\bruch{u^{2}}{u^{2}-1} du}[/mm] = [mm]-\integral {(1-\bruch{u^{2}}{1}) du}[/mm]
> = [mm]-\integral[/mm] 1 du + [mm]\integral {u^{2} du}[/mm] = -u +
> [mm]\bruch{1}{3}u^{3}[/mm] + C
> Rücksubstitution: u = sinx
>
> I = -sinx + [mm]\bruch{1}{3}sin^{3}x[/mm] + C
>
> lasst mich raten wieder falsch, irgendwie ist der wurm
> drin..
Ja, so isses.
[mm]\bruch{-u^{2}}{u^{2}-1}}=\bruch{-u^{2}+1-1}{u^{2}-1}}=\bruch{-u^{2}+1}{u^{2}-1}}-\bruch{1}{u^{2}-1}}=-1-\bruch{1}{u^{2}-1}}[/mm]
Demnach hast Du dann folgendes Integral zu berechnen:
[mm]-\integral {\bruch{u^{2}}{u^{2}-1} du}=-\integral {1+\bruch{1}{u^{2}-1} du}[/mm]
[mm]=-\integral_{}^{}{1+\bruch{A}{u+1}+\bruch{B}{u-1} \ du}[/mm]
Die Koeffizienten A,B sind aus der Gleihung
[mm]\bruch{1}{u^{2}+1}=\bruch{A}{u+1}+\bruch{B}{u-1}[/mm]
zu bestimmen.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Mi 14.01.2009 | | Autor: | matzew611 |
oh ja wie absolut dumm von mir, ich hab tomaten auf den augen, das wird mir nun ja schon peinlich... ich glaube ich sollte den krams nachher mal an die seite legen und ordentlich feiern gehen :)... schwierige geburt.. danke MathePower
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okay... auf ein neues:
1 = A(u-1) + B(u+1)
für u=1 => 1 = 2B => B = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
für u=-1 => 1 = A(-2) => A = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] I = - [mm] \integral [/mm] (1 - [mm] \bruch{1}{2}\bruch{1}{u+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\bruch{1}{u-1})du
[/mm]
= -u + [mm] \bruch{1}{2}ln(u+1) -\bruch{1}{2}ln(u-1) [/mm] + C
Rücksubstitution: u = sinx
I = -sinx + [mm] \bruch{1}{2}ln(sinx+1) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}ln(sinx-1) [/mm] + C
... kann mich nur wiederholen.. danke
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Hallo matzew611,
> okay... auf ein neues:
>
> 1 = A(u-1) + B(u+1)
>
> für u=1 => 1 = 2B => B = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> für u=-1 => 1 = A(-2) => A = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
>
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] I = - [mm]\integral[/mm] (1 - [mm]\bruch{1}{2}\bruch{1}{u+1}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{2}\bruch{1}{u-1})du[/mm]
>
> = -u + [mm]\bruch{1}{2}ln(u+1) -\bruch{1}{2}ln(u-1)[/mm] + C
>
> Rücksubstitution: u = sinx
>
> I = -sinx + [mm]\bruch{1}{2}ln(sinx+1)[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}ln(sinx-1)[/mm]
> + C
Jetzt stimmt's. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Etwas zusammengefasst:
[mm]I=-\sin\left(x\right)+\bruch{1}{2}*\ln\vmat{\bruch{\sin\left(x\right)+1}{\sin\left(x\right)-1}}+C[/mm]
>
> ... kann mich nur wiederholen.. danke
Gruß
MathePower
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Generell gilt:
Bei der Ableitung von sin X und cos X
sin x [mm] \to [/mm] cos x [mm] \to [/mm] -sin x [mm] \to [/mm] -cos x [mm] \to \to [/mm] sin x
weiterhin gilt sin x= [mm] \bruch{Gegenkathete}{Hypothenuse} [/mm] und
cos= [mm] \bruch{Ankathete}{Hypothenuse}
[/mm]
und [mm] sin^{2}=\bruch{1}{2}*(x-sin [/mm] x*cos X) siehe Formelsammlung
Das heist dein Integral wäre
[mm] \bruch{\bruch{1}{2}*(x-sin x*cos X)}{-sin x}
[/mm]
Ohne Kürzen.
Damit würde ich sagen das du [mm] sin^{2} [/mm] x nicht Auseinander ziehen darfst sonst gäbe es kaum eine Definition dafür. Also ist deine erste Lösung falsch.
Außerdem wie machst du aus [mm] 1-cos^{2}x [/mm] nur noch cos X.Denn
[mm] cos^{2}x [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*(x+sin [/mm] x*cos X)
Ich hoffe das Hilft dir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Mi 14.01.2009 | | Autor: | matzew611 |
für das Verständnis hilft es auf jeden Fall, ich bin froh um jede Kleinigkeit die ich aufnehmen kann, aus Fehlern lernt man :), von mir aus mache ich jeden blöden Fehler den es gibt, solange er kein zweites mal bei mir vorkommt..
also ich habe das Integral in zwei Integrale getrennt gehabt
[mm] \integral {\bruch{1-cos^{2}x}{cosx} dx} [/mm]
1. Integral: [mm] \integral {\bruch{1}{cosx} dx} [/mm]
2. Integral: - [mm] \integral {\bruch{cos^{2}x}{cosx} dx} [/mm] = - [mm] \integral [/mm] cosx dx
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:06 Mi 14.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Formel
$ [mm] sin^{2}=\bruch{1}{2}\cdot{}(x-sin [/mm] $ x*cos x)
stimmt nicht!
Gruss leduart
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