(un)eigentlich Rie./Le. int'ba < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Sa 25.01.2014 | | Autor: | havoc1 |
| Aufgabe | Satz um den sich die Frage handelt:
Sei I [mm] \subset \IR [/mm] ein Intervall. und f: I -> [mm] \IR [/mm] R-integrierbar über jedes kompakte Intervall I' [mm] \subset [/mm] I. Dann gilt:
f Lebesgue integrierbar über I <=> |f| ist uneigentlich R-int'bar über I |
Mein Problem ist folgendes: Was ist für den Fall, das I ein abgeschlossenes Intervall ist?
Ich meine, dann macht es doch gar keinen Sinn über eine uneigentliche Riemann-Integrierbarkeit von I zu sprechen, weil dieses nur für halboffene bzw. offene Intervalle definiert ist. Gilt dann stillschweigend die Vereinbarung, das mit einer Riemann-Integrierbarkeit auch die uneigentliche Riemann-Integrierbarkeit gilt? (Ansonsten würde der Satz nur Sinn machen, wenn abgeschlossene Intervalle ausgeschlossen sind)
Generell denke ich, dass man uneigentlich und eigentlich Riemann nicht vergleichen kann, weil es eben zwei verschiedene Dinge für zwei verschiedene Situationen sind. Dennoch glaube ich, dass man in Sätzen (wie diesem hier) mit uneigentlich R-int'bar auch eigentlich int'bar meint. (Eben dann, wenn man an entsprechenden Stellen ein kompaktes Intervall vorliegen hat.)
Oder es ist eben so, dass etwas Riemann-integrierbares auch automatisch uneigentlich Riemann-integrierbar ist. (Das würde aber von den Definitionen her irgendwie nicht stimmig sein)
Ich hoffe jemand kann mein kleines Definitionsproblem auflösen :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 So 26.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Dieser Satz ist für kompakte Intervalle falsch !
Beispiel: I=[0,1]
f(x)=1 für x [mm] \in [/mm] I [mm] \cap \IQ [/mm] und f(x)=0 für x [mm] \in [/mm] I [mm] \setminus \IQ.
[/mm]
Edit: ich hab mich geirrt. obiges f ist kein Gegenbeispiel
FRED
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Hallo fred,
die Voraussetzungen des Satzes sind in deinem Beispiel doch gar nicht erfüllt.
Gruß,
Gono.
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Hiho,
> Mein Problem ist folgendes: Was ist für den Fall, das I ein abgeschlossenes Intervall ist?
> Ich meine, dann macht es doch gar keinen Sinn über eine uneigentliche Riemann-Integrierbarkeit von I zu sprechen, weil dieses nur für halboffene bzw. offene Intervalle definiert ist.
Na so stimmt das ja auch nicht.
Letztendlich ist das uneigentliche Integral ja eben nur als Grenzwert gegen eine Grenze definiert. Und dieser ist eben bei abgeschlossenen Intervallen in dem Satz ebenso wohldefiniert und damit verträglich mit der Definition.
> Gilt dann stillschweigend die Vereinbarung, das mit einer Riemann-Integrierbarkeit auch die uneigentliche Riemann-Integrierbarkeit gilt?
Trivialerweise.
> Oder es ist eben so, dass etwas Riemann-integrierbares auch automatisch uneigentlich Riemann-integrierbar ist. (Das würde aber von den Definitionen her irgendwie nicht stimmig sein)
Warum nicht?
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:05 Mo 27.01.2014 | | Autor: | havoc1 |
Ah, diesen Zusammenhang habe ich vermutet.
Ich dachte jedoch, dass es ein Problem ist, weil (die Definition streng betrachtet) das uneigentliches Riemann-Integral für offene, das Eigentliche für abgeschlossene definiert ist. Das natürlich das eigentliche Riemann Integral gewissermaßen auch ein uneigentliches ist, war mir nicht ganz klar.
Vielen Dank für deine Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Mo 27.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Betrachten wir, den Fall , dass I ein kompaktes Intervall ist, also I=[a,b].
1. Ist f Riemannintegrierbar über I und F:I [mm] \to \IR [/mm] definiert durch
[mm] F(x)=\integral_{a}^{x}{f(t) dt},
[/mm]
so beagt der hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, dass F auf I Lipschitzstetig ist. Insabesondere oist F stetig auf I und damit:
[mm] \limes_{x \rightarrow b}F(x)=F(b),
[/mm]
also
[mm] \limes_{x \rightarrow b}\integral_{a}^{x}{f(t) dt}=\integral_{a}^{b}{f(t) dt}.
[/mm]
So ordnet sich das bestimmte R_Integral dem uneigentlichen R_integral unter.
2. Sei f Riemannintegrierbar über I. Weiter sei auf I des Lebesguemaß zugrunde gelegt.
Die Frage, ob f Lebesgueintegrierbar über I ist, hängt nun davon ab, welche [mm] \sigma [/mm] - Algebra auf I zugrunde gelegt wurde.
a) Ist die [mm] \sigma [/mm] - Algebra die Lebesguesche [mm] \sigma [/mm] - Algebra, so ist f Lebesgue-messbar und man kann zeigen: f ist Lebesgueintegrierbar über I.
Der Grund ist die Vollständigkeit des L-Maßes (bezgl. der L [mm] \sigma [/mm] - Algebra)
b) Ist die [mm] \sigma [/mm] - Algebra die Borelsche [mm] \sigma [/mm] - Algebra, so ist f i.a. nicht Borel-messbar.
FRED
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