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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Mo 18.06.2007 | | Autor: | damien23 |
| Aufgabe | Betrachten sie die Polarkoordinaten-Abbildung
[mm] P_{3}: \IR^{3} \to \IR^{3}, [/mm] (r, [mm] \gamma, \delta) \mapsto [/mm] (r * cos [mm] \gamma [/mm] * cos [mm] \delta, [/mm] r * sin [mm] \gamma [/mm] * cos [mm] \delta, [/mm] r sin [mm] \delta)
[/mm]
a.) zeige, dass diese Abbildung [mm] C^{\infty} [/mm] ist und bestimme die erste Ableitung
b.) Beweise, dass die Einschränkung von
[mm] P_{3} [/mm] auf U:= [mm] \IR_{>0} [/mm] x ]- [mm] \pi, \pi [/mm] [ x ]- [mm] \bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2} [/mm] [ injektiv ist und bestimme das Bild V:= [mm] P_{3} [/mm] (U)
c.) Bestimme die Umkehrfunktion von [mm] P_{3}: [/mm] U [mm] \to [/mm] V |
Hey ich hoffe ihr könnt mir helfen.
die a.)habe ich gelöst ist ja recht einfach
bei der b.) habe ich leider keine Ahnung was ich machen muss, bin für jeden tipp dankbar
gleiches gilt für die c.)
hier habe ich mir gedacht die Umkehrabbildung sieht ja so aus
[mm] P_{3}^{-1}:
[/mm]
(r * cos [mm] \gamma [/mm] * cos [mm] \delta, [/mm] r * sin [mm] \gamma [/mm] * cos [mm] \delta, [/mm] r sin [mm] \delta) \mapsto [/mm] (r, [mm] \gamma, \delta) [/mm] nur wie geht es dann weiter
mfg
damien
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Di 19.06.2007 | | Autor: | wauwau |
Die Umkehrabbildung ist
(x,y,z) -> [mm] (\sqrt{x^2+y^2+z^2}, arctan(\bruch{y}{x}), arcsin(\bruch{z}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}))
[/mm]
Daraus folgt [mm] Bild(U)=\IR^3 [/mm] und die injektivität
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danke wauwau das hilft mir weiter.
zu der b.) habe ich mir folgendes überlegt
weiß aber noch nicht wirklich wie ich dies aufschreiben soll
injektiv bedeutet ja f(x)=f(y) => x=y
also wähle ich werte aus den angegebenen intervallén
z.B
[mm] P_{3} (r_{1}, \gamma_{1}, \delta_{1}) =P_{3} (r_{2}, \gamma_{2}, \delta_{2})
[/mm]
dann folgt ja [mm] (r_{1}, \gamma_{1}, \delta_{1}) [/mm] = [mm] (r_{2}, \gamma_{2}, \delta_{2})
[/mm]
somit wär dies injektiv, nur welche werte [mm] (r_{2}, \gamma_{2}, \delta_{2}) [/mm] muss ich wählen?
zu Bild V:= [mm] P_{3} [/mm] (U)
denke ich man muss die Grenzen der Intervalle betrachten
diese in die Gleichung einsetzen, so dass irgendwas in der art
(0,0,r) herauskommt oder bin ich da gedanklich komplett auf dem falschen weg
mfh
damien
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 23.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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