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| Aufgabe | beweise für die folgende funktion f die existenz der umkehrfunktion und gib f^(-1) an!
[mm] f(x)=\bruch{x}{\wurzel{1+x^2}} [/mm] ; [mm] \ID=\IR [/mm] |
zuerst bilde ich die ableitung, um nachzuprüfen, ob der graph von f streng monoton steigend/fallend ist und die funktion somit umkehrbar.
dafür benutze ich die quotientenregel. die ableitung ist größer als 0, also str. monoton steigend, die funktion ist also umkehrbar, oder?
dann führe ich bei der ausgangsfunktion den variablentausch durch und löse nach y auf. dann erhalte ich y= +/- [mm] \bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
und dann wollte ich eben herausfinden, welche von beiden lösungen stimmt, also + oder - und setze in die ausgangsfunktion irgendeinen wert ein, z.b. -2 und erhalte [mm] -\bruch{2}{\wurzel{5}}
[/mm]
diesen wert setze ich in die umkehrfunktion ein und schau, wann -2 rauskommt, also ob für + oder -...
aber das stimmt nicht!
das richtige ergebnis ist sgn [mm] x*\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
aber wieso kann ich das nicht einfach mit der wertetabelle machen? bis jetzt hats immer so funktioniert und es kam nur ein ergebnis raus, entweder + oder -!
wär toll, wenn ihr mir helfen könntet:)
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Hi, mickeymouse,
> [mm]f(x)=\bruch{x}{\wurzel{1+x^2}}[/mm] ; [mm]\ID=\IR[/mm]
> zuerst bilde ich die ableitung, um nachzuprüfen, ob der
> graph von f streng monoton steigend/fallend ist und die
> funktion somit umkehrbar.
> dafür benutze ich die quotientenregel. die ableitung ist
> größer als 0, also str. monoton steigend, die funktion ist
> also umkehrbar, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dann führe ich bei der ausgangsfunktion den
> variablentausch durch und löse nach y auf. dann erhalte ich
> y= +/- [mm]\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}[/mm]
> und dann wollte ich eben herausfinden, welche von beiden
> lösungen stimmt, also + oder - und setze in die
> ausgangsfunktion irgendeinen wert ein, z.b. -2 und
> erhalte [mm]-\bruch{2}{\wurzel{5}}[/mm]
> diesen wert setze ich in die umkehrfunktion ein und schau,
> wann -2 rauskommt, also ob für + oder -...
> aber das stimmt nicht!
Wieso stimmt das nicht? Es ist OK!
Aber: Warum nimmst Du nicht f(1)?
> das richtige ergebnis ist
> [mm]sgnx*\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}[/mm]
Ganz klar: DIESES Ergebnis ist falsch!
Die richtige Umkehrfunktion ist:
[mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}}
[/mm]
> aber wieso kann ich das nicht einfach mit der wertetabelle
> machen? bis jetzt hats immer so funktioniert und es kam nur
> ein ergebnis raus, entweder + oder -!
Genau so ist es auch hier! Wo auch immer Du das Ergebnis mit der Signumfunktion herhast: ES IST FALSCH!!! (100 Pro!)
mfG!
Zwerglein
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genau das gleiche hab ich auch rausbekommen!
hab auch mehrere werte (negative und positive) in die funktion eingesetzt und immer nur das eine ergebnis für die umkehrfunktion rausgebracht...
meine lehrerin hats auch noch so hingeschrieben:
[mm] f^{-1}(x)=\begin{cases} +\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}, & \mbox{für } x \mbox{ gerade} \\ -\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}, & \mbox{für } x \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
meine lösung hat sie durchgestrichen...wieso bist du dir so sicher, dass es trotzdem stimmt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Di 20.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Auch Lehrer machen Fehler! und hier hat sie unrecht. lass dir von ihr doch mal fuer x=-1 vorrechnen!
Gruss leduart
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Hi, mickeymouse,
> genau das gleiche hab ich auch rausbekommen!
> hab auch mehrere werte (negative und positive) in die
> funktion eingesetzt und immer nur das eine ergebnis für die
> umkehrfunktion rausgebracht...
> meine lehrerin hats auch noch so hingeschrieben:
> [mm]f^{-1}(x)=\begin{cases} +\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}, & \mbox{für } x \mbox{ gerade} \\ -\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}, & \mbox{für } x \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
Vermutlich hat sie's eher so geschrieben:
[mm]f^{-1}(x)=\begin{cases} +\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}, & \mbox{für } x \ge 0 } \\ -\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}, & \mbox{für } x < 0} \end{cases}[/mm]
Ist aber trotzdem falsch, denn es ergäbe sich für diese "Umkehrfunktion" ein achsensymmetrischer Graph - und das ist eo ipso unmöglich!
> meine lösung hat sie durchgestrichen...wieso bist du dir so
> sicher, dass es trotzdem stimmt?
Ganz einfach:
Weil ich alles hab' zeichnen lassen!
(Mach's ruhig auch mal - hast ja sicher irgendein Zeichenprogramm!)
Und der Graph Deiner Lehrerin passt überhaupt nicht, während "unser beider" Funktionsgraph optimal funzt!#
mfG!
Zwerglein
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vielen dank für eure antworten, is schön, auch mal recht zu haben:)
ich werd meine lehrerin morgen gleich mal fragen!
gibt es denn situationen, in denen ich bei der umkehrfunktion mit signum arbeiten muss?
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Hi, mickeymouse,
> vielen dank für eure antworten, is schön, auch mal recht zu
> haben:)
> ich werd meine lehrerin morgen gleich mal fragen!
Wie gesagt: Hinweis auf den Graphen!
Sie soll mal alles zeichnen (lassen)!
> gibt es denn situationen, in denen ich bei der
> umkehrfunktion mit signum arbeiten muss?
Klaro!
Einfaches Beispiel:
f(x) = [mm] x^{3}
[/mm]
[mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] sgn(x)*\wurzel[3]{|x|}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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