umkehrabbildung eines diffeom. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Sa 24.01.2009 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | | f(x,y,z)=(x,x+y,x-z-y) ist ein diffeomorphismus. |
hallo zusammen,
also dass f ein diffeo ist, ist ja klar, da f linear ist und vollen rang hat...
nur wie ist [mm] f^{-1}(x,y,z) [/mm] definiert??? hab echt gerad voll die sperre....
und wenn man generell zeigen will, dass ne abbildung ein diffeomorphismus ist, kann man da auch über die jakobi-matrix gehen und sagen, wenn die in jedem punkt ungleich 0 ist, ist die auch invertierbar und [mm] f^{-1}' [/mm] existiert? also wenn [mm] det(f^{-1}') \not= [/mm] 0 für alle (x,y,z)
danke und lg
eumel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Sa 24.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> nur wie ist [mm]f^{-1}(x,y,z)[/mm] definiert??? hab echt gerad voll
> die sperre....
Da die Abbildung linear ist, musst zu einer linearen Abbildung die Inverse bilden. Also das Inverse einer Matrix berechnen - schau mal in Richtung lineare Algebra!
> und wenn man generell zeigen will, dass ne abbildung ein
> diffeomorphismus ist, kann man da auch über die
> jakobi-matrix gehen und sagen, wenn die in jedem punkt
> ungleich 0 ist, ist die auch invertierbar und [mm]f^{-1}'[/mm]
> existiert? also wenn [mm]det(f^{-1}') \not=[/mm] 0 für alle (x,y,z)
Nein, dann ist es bloß ein lokare Diffeomorphismus - dieser muss weder surjektiv, noch injektiv sein im Allgemeinen! zB ist die Expontentialfunktion im Komplexen weder injetiv noch surjektiv (die 0 wird ausgelassen), aber überall hat das Differentail vollen Rang!
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Sa 24.01.2009 | | Autor: | eumel |
ja stimmt, hab vergessen, dass [mm] f(x,y,z)=(x,x+y,x-z-y)=\pmat{1&0&0\\1&1&0\\1&-1&-1}(x,y,z)^T [/mm] ist... xD
danke ^^
lg
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