umformung varianz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 So 25.11.2007 | | Autor: | AriR |
hey leute
wir haben die varianz def. als:
Var(X)= [mm] E[(x-E[x])^2]
[/mm]
und das soll das selbe sein wie:
[mm] Var(X)=\summe_{x\in X(\Omega)}(x-E[X])^2P[X=x]
[/mm]
ich kann mich damit anfreunden, bis auf das P[X=x]!
müsste das nicht heißen [mm] P[(x-E[X])^2 [/mm] = x] und es würde doch in diesem fall nur gelten [mm] P[(x-E[X])^2 [/mm] = x] = P[X=x], wenn die urbilder von [mm] (x-E[X])^2 [/mm] und X gleich wären, aber das ist hier dohc gar nicht vorausgesetzt oder?
kann mir da vllt einer von euch diese umrechnung erklären?
gruß :)
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> hey leute
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> wir haben die varianz def. als:
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> Var(X)= [mm]E[(x-E[x])^2][/mm]
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> und das soll das selbe sein wie:
>
> [mm]Var(X)=\summe_{x\in X(\Omega)}(x-E[X])^2P[X=x][/mm]
>
> ich kann mich damit anfreunden, bis auf das P[X=x]!
> müsste das nicht heißen [mm]P[(x-E[X])^2[/mm] = x] und es würde
> doch in diesem fall nur gelten [mm]P[(x-E[X])^2[/mm] = x] = P[X=x],
> wenn die urbilder von [mm](x-E[X])^2[/mm] und X gleich wären, aber
> das ist hier dohc gar nicht vorausgesetzt oder?
>
> kann mir da vllt einer von euch diese umrechnung erklären?
Erklär uns (bzw. Dir selbst) doch zuerst einmal, wie Du für eine konkret gegebene Zufallsvariable $X: [mm] \Omega\rightarrow \overline{\IR}$ [/mm] die Varianz aufgrund eurer Definition
[mm]\mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}[(x-\mathrm{E}[x])^2][/mm]
ausrechnen würdest (ich vermute, dass ihr zur Zeit ohnehin erst einmal mit diskreten W'verteilungen arbeitet). Hast Du dies gemacht, fällt es Dir vermutlich leichter, diese Berechnung auf die Form
[mm]\mathrm{Var}(X)=\summe_{x\in X(\Omega)}(x-\mathrm{E}[X])^2 \mathrm{P}[X=x][/mm]
zu bringen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 So 25.11.2007 | | Autor: | AriR |
ich hab einfach blind die 2. formel dafür genommen +g+
wenn ich einfach die def. des erwartungswertes nehme, dann komme ich für
[mm] \mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}[(x-\mathrm{E}[x])^2]
[/mm]
auf [mm] \mathrm{Var}(X)=\summe_{x\in X(\Omega)}(x-\mathrm{E}[X])^2 \mathrm{P}[(x-\mathrm{E}[x])^2=x]
[/mm]
oder? nur warum das gilt sehe ich leider nicht :(
demnach müsste doch gelten [mm] \mathrm{P}[(x-\mathrm{E}[x])^2=x]=\mathrm{P}[X=x]
[/mm]
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> ich hab einfach blind die 2. formel dafür genommen +g+
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> wenn ich einfach die def. des erwartungswertes nehme, dann
> komme ich für
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> [mm]\mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}[(x-\mathrm{E}[x])^2][/mm]
>
> auf [mm]\mathrm{Var}(X)=\summe_{x\in X(\Omega)}(x-\mathrm{E}[X])^2 \mathrm{P}[(x-\mathrm{E}[x])^2=x][/mm]
>
> oder?
Ugh, sieht abstossend aus ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]") - ich hatte für [mm] $\mathrm{E}\left[\left(X-\mathrm{E}[X]\right)^2\right]$ [/mm] eher so etwas wie
[mm]\mathrm{Var}(X)=\sum_{\omega\in\Omega} \left(X(\omega)-\mathrm{E}[X]\right)^2\cdot\mathrm{P}(\omega)[/mm]
erwartet. Hier ist [mm] $\omega \mapsto \left(X(\omega)-\mathrm{E}[X]\right)^2$ [/mm] einfach eine Zufallsvariable, deren Erwartungswert die mit den Wahrscheinlichkeiten [mm] $\mathrm{P}(\omega)$ [/mm] gewichtete Summe ihrer Funktionswerte ist. Bei dieser Darstellung des Erwarungswertes der quadratischen Abweichung von [mm] $\mathrm{E}[X]$ [/mm] könnte man dann als nächstes verwenden, dass gilt
[mm]\mathrm{P}[X=x]=\sum_{\omega\in X^{-1}(x)}\mathrm{P}(\omega)[/mm]
und so die obige Summe über [mm] $\omega\in \Omega$ [/mm] zur gewünschten Summe über [mm] $x\in X(\Omega)$ [/mm] umformen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:15 So 25.11.2007 | | Autor: | Somebody |
Die folgende Metaphorik:
> ich hab einfach blind die 2. formel dafür genommen +g+
...
> nur warum das gilt sehe ich leider nicht :(
beschreibt das Vorgehen und dessen Konsequenz ganz treffend: "blind" und "nicht sehen" ist ja eigentlich so ziemlich dasselbe.
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P.S: Nichts für ungut: ich konnte der Versuchung einfach nicht widerstehen, diese Sicht auf Deine Formulierung hervorzuheben - es war einfach zu drollig.
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