Übungsserie 2, Aufgabe 1 < VK 58: Alg 1 < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | II-1: Sei $G$ eine Gruppe. Zeigen Sie:
(i) [mm] $\operatorname{Aut} [/mm] G = [mm] \{\operatorname{id}\} \to [/mm] G$ ist abelsch.
(ii) Ist $a [mm] \mapsto a^{2}$ [/mm] ein Homomorphismus, so ist $G$ abelsch.
(iii) Ist $a [mm] \mapsto a^{-1}$ [/mm] ein Automorphismus, so ist $G$ abelsch. |
Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Algebra" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 21:21 So 11.03.2012 | | Autor: | diddy449 |
(i)
Seien [mm] $a,b\in [/mm] G$.
Betrachtet man nun [mm] $\phi\in Aut\;G$ [/mm] mit [mm] $\phi(x):= axa^{-1}$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] G$, muss [mm] $\phi [/mm] = id$ sein und damit $b = [mm] aba^{-1}\gdw [/mm] ba = ab$.
(ii)
Sei [mm] $\phi:G\to [/mm] G$ mit [mm] \phi(a)=a^2 [/mm] ein Homomorphismus, dann gilt:
[mm] $\forall a,b\in [/mm] G: [mm] a^2b^2 [/mm] = [mm] \phi(a)\phi(b) [/mm] = [mm] \phi(ab) [/mm] = [mm] (ab)^2 \overbrace{\gdw}^{kuerzen} [/mm] ab = ba$
(iii)
Sei [mm] $\phi:G\to [/mm] G$ mit [mm] \phi(a)=a^{-1} [/mm] ein Automorphismus und seien [mm] $a,b\in [/mm] G$, dann gibt es [mm] $a^{-1},b^{-1}\in [/mm] G$ und es gilt:
$ ab = [mm] (a^{-1})^{-1}(b^{-1})^{-1} [/mm] = [mm] \phi(a^{-1})\phi(b^{-1}) [/mm] = [mm] \phi(a^{-1}b^{-1}) [/mm] = [mm] (a^{-1}b^{-1})^{-1} [/mm] = ba$
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