Übungsaufgabe Stochastik < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:12 Sa 19.12.2009 | | Autor: | Laplace2 |
| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P}) [/mm] ein W.-Raum und [mm] A_{n} [/mm] eine Folge von Ereignissen aus [mm] \mathcal{F}. [/mm] Zeige:
Aus [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty} P(A_{n}) [/mm] = 0$ und [mm] $\sum_{n=1}^{\infty} P(A_{n}^{C} \cap A_{n+1}) <\infty$ [/mm] folgt: [mm] $\mathbb{P}(\limsup_{n\rightarrow\infty} A_{n}) [/mm] = 0$
Beachte: $^{C}$ bezeichnet das Komplement
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Hallo, ich bin gerade dabei meine Stochastik-Vorlesungen wieder etwas aufzufrischen und weiss nicht, wie man diese Aufgabe lösen könnte. Versucht habe ich es mit dem 0-1-Gesetz von Borel-Cantelli. Dazu müsste man zeigen, dass
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_{n}) [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] ist. Dann wäre die Aufgabe gelöst. Hat jemand eine Idee?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Sa 19.12.2009 | | Autor: | Turis |
Hallo,
da ja allgemein gilt dass [mm] A^{c} \cap [/mm] B = [mm] B\backslash [/mm] A gilt
[mm] P(A_{n}^{C} \cap A_{n+1})=P(A_{n+1})-P(A_{n}) \le P(A_{n+1})
[/mm]
Allerdings bringt uns das keine Majorante, sondern nur eine Minorante...
Auch das Quotientenkriterium hat mir nicht helfen können.
Schade dass es keine aufsteigende Folge von Ereignissen ist, dann wäre es einfacher.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:39 So 20.12.2009 | | Autor: | Laplace2 |
Hallo und vielen Dank für die Antwort.
Es gilt [mm] $A^{C}\cap [/mm] B = B [mm] \backslash [/mm] A$, aber [mm] $P(B\backslash [/mm] A) = P(B)-P(A)$ nur, wenn [mm] $A\subset [/mm] B$ gilt. Viele Grüße
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