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Hallo Leute,
bin neu hier und hoffe, dass Ihr mir helfen könnt. Ich betrachte die euklidische Norm einer [mm] p [/mm] -dimensionalen Brownschen Bewegung [mm] B^p [/mm]. Der resultierende Prozess soll mit [mm] R [/mm] gekennzeichnet werden:
[mm] R_t = \| B_t^p\| \quad \forall t \in [0,1] [/mm].
Folglich startet der Prozess [mm] R [/mm] in [mm] 0 = R_0 [/mm].
Ich interessiere mich nun für die Wahrscheinlichkeit
[mm] P(\sup_{t \in [0,1]} R_t \geq a) , \quad a>0 [/mm]
Borodin (2002) gibt dazu in seinem "Handbook of Brownian Motion", S.373 (1.1.4) folgende Gleichung an, wenn der Prozess in [mm] x \geq 0[/mm] startet und [mm] x \leq y [/mm]:
[mm] P_x(\sup_{t \in [0,1]} R_t \geq y) = 1 - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2 J_\nu(j_{\nu,k} x/y) y^{\nu}}{x^\nu j_{\nu,k} J_{\nu+1}(j_{\nu,k}} \cdot \exp(-\frac{j_{\nu,k}^2 \cdot t}{2y^2}) [/mm]
Das ist im Prinzip genau das, was ich brauche - NUR: wenn ich in der obigen Gleichung [mm]x=0[/mm] einsetze, so steht 0 im Nenner des Bruches (da [mm] \nu > 0 [/mm]). Weiß jemand, wo ich die Gleichung für [mm] x=0 [/mm] finden kann?
Vielen herzlichen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Fr 14.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo regressor,
> Borodin (2002) gibt dazu in seinem "Handbook of Brownian Motion",
> S.373 (1.1.4) folgende Gleichung an, wenn der Prozess in [mm]x \geq 0[/mm]
> startet und [mm]x \leq y [/mm]:
> [mm]P_x(\sup_{t \in [0,1]} R_t \geq y) = 1 - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2 J_\nu(j_{\nu,k} x/y) y^{\nu}}{x^\nu j_{\nu,k} J_{\nu+1}(j_{\nu,k}} \cdot \exp(-\frac{j_{\nu,k}^2 \cdot t}{2y^2})[/mm]
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> Das ist im Prinzip genau das, was ich brauche - NUR: wenn
> ich in der obigen Gleichung [mm]x=0[/mm] einsetze, so steht 0 im
> Nenner des Bruches (da [mm]\nu > 0 [/mm]). Weiß jemand, wo ich die
> Gleichung für [mm]x=0[/mm] finden kann?
Die Gleichung verstehe ich nicht, denn links wird das Supinum über t gebildet, aber rechts kommt t als Variable vor.
Der Grenzwert für [mm]x\rightarrow 0[/mm] ist kein Problem, wenn du das Verhalten der Besselfunktionen in der Nähe der 0 anschaust: da verhält sich [mm]J_\nu(z)[/mm] wie [mm](z/2)^\nu \Gamma(\nu+1)[/mm] (Quelle: ![[]](/images/popup.gif) Abramowitz/Stegun: Handbook of Mathematical Functions, S. 360). Damit fallen kürzen sich alle x und y aus dem Bruch heraus.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:39 Fr 21.09.2007 | | Autor: | regressor |
Hallo Rainer,
ja, hast Recht. Tut mir leid für den Tippfehler. So ist die Formel natürlich völliger quatsch.
Allerdings besten Dank für Deinen Hinweis. Du hast mir damit echt geholfen!
Viele Grüße
regressor
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