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Hallo Leute,
ich habe ein Problem bezüglich der Beschränktheit.
Kann mir jemand sagen ob die Definitionsmenge D={(x,y)|(x-2)²+(y+1)²<=9}
beschränkt ist?? Und das vielleicht auch Begründen. Irgendwie komme ich mit der Defintion die uns unser Prof gegeben hat nicht so klar.
Dankeschön schon mal im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Mo 10.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Starsplash!
Ja, die dir gegebene Menge ist beschränkt. Sie ist genua der ausgefüllte Kreis mit dem Radius 3 um den Punkt (2,1) - Warum? Überlege dir: ein (ausgefüllter) Kreis um den Ursprung und den Radius $r$ wird gegeben durch die Menge der [mm] $(x,y)\in \IR^2$ [/mm] mit [mm] $x^2+y^2\leq r^2$. [/mm] Willst du den Mittelpunkt des Kreises nun an den Punkt $(a,b)$ verschieben, so musst du dir überlegen, dass ein Punkt $(x,y)$ genau dann in diesem Kreis liegt, wenn für die Koordinaten-Differenzen [mm] $d_x,d_y$ [/mm] zum Ursprung $(a,b)$ des Kreises die Ungleichung [mm] $d_x^2+d_y^2\leq r^2$ [/mm] gilt. Diese Differenzen lassen sich natürlich leicht durch $(a,b)$ und $(x,y)$ angeben. Es ist [mm] $d_x [/mm] = x-a$ und [mm] $d_y=y-b$. [/mm] Damit liegen genau die Punkte $(x,y)$ im Kreis vom Radius $r$ um den Punkt $(a,b)$, für die [mm] $(x-a)^2+(y-b)^2\leq r^2$ [/mm] gilt.
Dass die Menge der Punkte innerhalb und auf dem Rand eines Kreises beschränkt ist, sollte klar sein.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo,
danke für deine schnelle Antwort. Du schreibst, dass die Definitionsmenge ein Kreis um den Punkt (2;1) aber müsste es nach deiner Definition nicht der Punkt (2;-1) sein??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Mo 10.10.2005 | | Autor: | Antimon |
Hallo,
Also ich glaube schon, das die Definitionsmenge beschränkt ist.
Du merkst ja schon nach dem einsetzen von (1,1) als simples Bsp. dass dann der "nächste" Wert (1,2) nicht mehr zur Menge gehört. Zwar sind das nur ganz einfache Werte die ich eingesetzt habe, aber man sieht, dass da beschränkt sein muss.
Ich bin mir nicht sicher, ob es schon reicht, als Begründung folgende Umformung vorzunehmen:
[mm] D={(x,y);(x-2)^2<=9-(y+1)^2}
[/mm]
Man sieht hier, dass die Ungleichung nur erfüllt ist für -1<=x<=3 und -4<y<2.
Hoffe ich hab hier jetzt nichts falsches festgestellt, bin grad nicht ganz konzentriert, aber so gehts auf jeden Fall...
Vielleicht reicht's dir ja schon....
Also denn,
viele Grüße
Antimon
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Hallo,
also ich weiß ja nicht, ob du darüber schon mal nachgedacht hast, aber in metrischen Räumen (Ich nehme an, dass dem einer zugrunde liegt!) sind Cauchy-Folgen beschränkt. Vielleicht kannst du ja auf deiner Menge eine definieren. Desweiteren gilt folg. Satz:
Sei [mm] (X,\parallel*\parallel) [/mm] normierter Raum. Eine Teilmenge [mm] Y\subset [/mm] X ist genau dann beschränkt, wenn es ein C>0 gibt mit [mm] \parallel x\parallel\le [/mm] C für alle x aus Y.
Vielleicht kannst ja auch, ähnlich wie bereits vorgemacht, das so durch irgendeine Norm anschätzen...!!
Viele Grüße
mathmetzsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 Di 11.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> also ich weiß ja nicht, ob du darüber schon mal nachgedacht
> hast, aber in metrischen Räumen (Ich nehme an, dass dem
> einer zugrunde liegt!) sind Cauchy-Folgen beschränkt.
> Vielleicht kannst du ja auf deiner Menge eine definieren.
und was soll das denn bringen? Ich kann in jeder nicht leeren Menge die konstante Folge als Cauchy-Folge wählen. du meinst wohl den Satz von Bolzano-Wierstraß, daß jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge hat, oder?
SEcki
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Ja, das ist richtig, mein Fehler! 