Überprüfung R³\(0) =Gruppe ? < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Sa 08.03.2008 | | Autor: | michaell |
| Aufgabe | | Überprüfen Sie, ob die Menge R³ \ { [mm] \vec{0} [/mm] } mit [mm] \pmat{ a1 \\ a2 \\ a3 } [/mm] x [mm] \pmat{ b1 \\ b2 \\ b3 } [/mm] = [mm] \pmat{ a1 & b1 \\ a2 & b2 \\ a3 &b3 } [/mm] eine Gruppe darstellt. |
Wie kann ich überprüfen ob es sich dabei um eine Gruppe handelt?
danke schonmal
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Hallo michaell,
> Überprüfen Sie, ob die Menge [mm] R³\setminus \{\vec{0} \} [/mm] mit [mm]\pmat{ a_1 \\ a_2 \\ a_3 }[/mm] x [mm]\pmat{ b_1 \\ b_2 \\ b_3 }[/mm] = [mm]\pmat{ a_1 b_1 \\ a_2 b_2 \\ a_3b_3 }[/mm]
> eine Gruppe darstellt.
> Wie kann ich überprüfen ob es sich dabei um eine Gruppe
> handelt?
Um zu zeigen, dass es eine Gruppe ist, weise die Gruppenaxiome nach, eines nach dem anderen 
(i) Abgeschlossenheit der Menge bzgl. der Verknüpfung [mm] $\times$
[/mm]
dh. zeige: [mm] $\forall x,y\in \IR^3\setminus\left\{\vektor{0\\0\\0}\right\} [/mm] \ : \ [mm] x\times y\in \IR^3\setminus\left\{\vektor{0\\0\\0}\right\}$
[/mm]
(ii) Assoziativität von [mm] $\times$ [/mm] in [mm] $\IR^3\setminus\left\{\vektor{0\\0\\0}\right\}$
[/mm]
dh. zeige: [mm] $\forall x,y,z\in \IR^3\setminus\left\{\vektor{0\\0\\0}\right\} [/mm] \ : \ [mm] \left(x\times y\right)\times z=x\times\left(y\times z\right)$
[/mm]
(iii) Existenz eines neutralen Elementes [mm] $n\in\IR^3\setminus\left\{\vektor{0\\0\\0}\right\}$
[/mm]
dh. zeige: [mm] $\exists n\in \IR^3\setminus\left\{\vektor{0\\0\\0}\right\} \forall x\in \IR^3\setminus\left\{\vektor{0\\0\\0}\right\} [/mm] \ : \ [mm] n\times x=x\times [/mm] n=x$
(iv) Jedes Element in [mm] $\IR^3\setminus\left\{\vektor{0\\0\\0}\right\}$ [/mm] ist invertierbar
dh. zeige [mm] $\forall x\in \IR^3\setminus\left\{\vektor{0\\0\\0}\right\}\exists x^{-1}\in \IR^3\setminus\left\{\vektor{0\\0\\0}\right\} [/mm] \ : \ [mm] x\times x^{-1}=x^{-1}\times [/mm] x=n$
Ich hoffe, ich habe keines vergessen
Schaue nochmal in deine Unterlagen (SKript o.ä.), wie ihr den Gruppenbegriff definiert habt
Für die Rechnungen dann stur die Definition von [mm] $\times$ [/mm] benutzen
Um allerdings zu widerlegen, dass es eine Gruppe ist, genügt es zu zeigen, dass eines der Kriterien verletzt ist bzw. nicht erfüllt ist.
Tipp: Richte mal dein Augenmerk auf die Abgeschlossenheit ...
> danke schonmal
LG
schachuzipus
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