Überprüfen von DGs < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Di 29.03.2011 | | Autor: | asulu211 |
| Aufgabe | Gegeben sei die DG y' = [mm] x^{3} e^{y}
[/mm]
a) Was ist die Definitionsmenge der DG?
b) Geben Sie die allgemeine Lösung der DG an.
c) Überprüfen Sie, dass die von Ihnen gefundene Lösung die DG erfüllt. |
Hallo!
Punkt a und b hab ich bereits erledigt:
D = IR
y = ln [mm] (x^{4}/4) [/mm] + ln(C)
Beim Punkt C bin weiß ich nicht genau wie ich dabei das y' bekomme!?
um den ln wegzubekommen, hab ich folgendes gemacht:
[mm] e^{y} [/mm] = [mm] x^{4}/4 [/mm] + C
[mm] e^{y} [/mm] abgeleitet ergibt wieder [mm] e^{y}, [/mm] und [mm] x^{4}/4 [/mm] abgeleitet ergibt [mm] x^3; [/mm] also würde das schon mal stimmen!
nur woher bekomme ich das y'?
lg
|
|
| |
|
Hallo asulu211,
> Gegeben sei die DG y' = [mm]x^{3} e^{y}[/mm]
> a) Was ist die
> Definitionsmenge der DG?
> b) Geben Sie die allgemeine Lösung der DG an.
> c) Überprüfen Sie, dass die von Ihnen gefundene Lösung
> die DG erfüllt.
> Hallo!
> Punkt a und b hab ich bereits erledigt:
> D = IR ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> y = ln [mm](x^{4}/4)[/mm] + ln(C)
Nein, das solltest du nochmal nach- bzw. hier vorrechnen.
Beachte auch [mm] $\ln(a+b)\neq \ln(a)+\ln(b)$
[/mm]
>
> Beim Punkt C bin weiß ich nicht genau wie ich dabei das y'
> bekomme!?
> um den ln wegzubekommen, hab ich folgendes gemacht:
> [mm]e^{y}[/mm] = [mm]x^{4}/4[/mm] + C
> [mm]e^{y}[/mm] abgeleitet ergibt wieder [mm]e^{y},[/mm] und [mm]x^{4}/4[/mm]
> abgeleitet ergibt [mm]x^3;[/mm] also würde das schon mal stimmen!
> nur woher bekomme ich das y'?
Na, mit der falschen Lösung kann das nicht passen.
Ansonsten Leite die (dann hoffentlich richtige) Lösung $y$ ab, dann hast du die linke Seite $y'$.
Dann die rechte Seite ausrechnen und vergleichen ...
> lg
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Di 29.03.2011 | | Autor: | asulu211 |
ich rechne das mal vor:
dy/dx = [mm] x^{3} e^{y}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{e^{-y} dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{ x^{3} dx}
[/mm]
[mm] -e^{-y} [/mm] = [mm] x^{4}/4 [/mm] +C
e{-y} = [mm] -x^{4} [/mm] /4 - C
und da ist mir dann der fehler unterlaufen...
also müsste es heißen:
-y = ln( [mm] -x^{4}/4 [/mm] - C)
y= - ln( [mm] -x^{4}/4 [/mm] - C)
das müsste jetzt stimmen, oder?
und wie funktioniert das jetzt genau mit dem y'?
wenn ich einfach das y gleich y' setzte, dann hab ich ja kein [mm] e^y, [/mm] oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Di 29.03.2011 | | Autor: | asulu211 |
ist eigentlich [mm] -ln(-x^{4}/4 [/mm] -C) das gleiche wie [mm] ln(x^{4}/4 [/mm] + C) ?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> ist eigentlich [mm]-ln(-x^{4}/4[/mm] -C) das gleiche wie [mm]ln(x^{4}/4[/mm] + C) ?
Oh Nein!
Es ist wegen [mm]\ln\left(a^b\right)=b\cdot{}\ln(a)[/mm] dann speziell mit [mm]b=-1[/mm]
vielmehr [mm]-\ln(a)=\ln\left(a^{-1}\right)=\ln\left(\frac{1}{a}\right)[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo asulu211,
> ich rechne das mal vor:
> dy/dx = [mm]x^{3} e^{y}[/mm]
> [mm]\integral_{}^{}{e^{-y} dy}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{ x^{3} dx}[/mm]
> [mm]-e^{-y}[/mm] = [mm]x^{4}/4[/mm] +C
> e{-y} = [mm]-x^{4}[/mm] /4 - C
> und da ist mir dann der fehler unterlaufen...
> also müsste es heißen:
> -y = ln( [mm]-x^{4}/4[/mm] - C)
> y= - ln( [mm]-x^{4}/4[/mm] - C)
> das müsste jetzt stimmen, oder?
Ja, das stimmt auch.
>
> und wie funktioniert das jetzt genau mit dem y'?
Die Lösung y setzt Du jetzt in die DGL ein.
> wenn ich einfach das y gleich y' setzte, dann hab ich ja
> kein [mm]e^y,[/mm] oder?
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Di 29.03.2011 | | Autor: | asulu211 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
so?:
y'= x^{3} * e^{-ln(-x^{4}/4 - C}
y' = x^{3} * 1/ e^{ln(-x^{4}/4-C}
y' = x^{3} * 1/(x^{4}/4 -C}
und was muss ich jetzt weiter machen?
was muss dann überhaupt heraukommen, damit die DG erfüllt wird?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Di 29.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> so?:
> y'= x^{3} * e^{-ln(-x^{4}/4 - C}
> y' = x^{3} * 1/ e^{ln(-x^{4}/4-C}
> y' = x^{3} * 1/(x^{4}/4 -C}
>
> und was muss ich jetzt weiter machen?
>
> was muss dann überhaupt heraukommen, damit die DG erfüllt
> wird?
Nimm die allgemeine Lösung y Deiner DGL her. Berechne y'. Dann berechne $x^3e^y$. Dann schaust Du ob
$y'=x^3e^y$
gilt. Wenn ja, erfüllt y die DGL, anderenfalls nicht.
FRED
|
|
|
|
