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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 So 15.09.2013 | | Autor: | luna19 |
| Aufgabe | Gegenwärtig sind sind 61% der Bevölkerung Mitglied einer christlichen Kirche (C),7% einer anderen Kirche oder Religionsgemeinschaft (A) und 32% gehören keiner Kirche oder Religionsgemeinschaft(K) an.Es wird davon ausgegangen,dass von C jährlich 1% der Mitglieder zu A und 2% zu K abwandern.A verliert jährlich 1 % an C und ebenfalls 2% an K.Jedes Jahr gehen 3% der Konfessionslosen zu C und 2 % zu A.
a)Wie entwickeln sich die Anteile in den ersten drei Jahren?Berechnen sie die gleichgewichtige Verteilung der Bevölkerung auf die verschiedenen Gruppen.
b) Die christlichen Kirchen möchten durch Aufklärungskampagnen mehr Konfessionslose gewinnen.Auf welchen Prozentsatz muss sich der jährliche Wechselsatz von K nach C mindestens erhöhen,damit die christlichen Kirchen im Gleichgewichtszustand mindestens die Hälfte der Bevölkerung zu ihren Mitgliedern zählen können. |
Hallo :)
ich komme bei der Aufstellung der Matrix A nicht weiter:
[mm] \pmat{ 0,58 & 0,01& 0,03\\ 0,01 & 0,04& 0,02\\ 0,02 & 0,02& 0,27}
[/mm]
Denn müssten nicht die Summen der Spalten jeweils 1 ergeben,da die Matrix stochastisch ist?
Danke :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 So 15.09.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo luna,
Du schmeißt hier den Ausgangsvektor und die Übergangsmatrix durcheinander. Die Zugehörigkeitswerte zu den Religionsgruppen stellen den Ausgangsvektor dar. Du musst jetzt die Übergangsmatrix aufstellen und bedenke dabei, dass sich auf der Hauptdiagonalen die Werte befinden, die den Zustand beschreiben, wenn sich dieser Zustand nicht ändert.
In einer Zeile stehen dabei die Werte, die zu einer Religionsgemeinschaft gehören. Von C geht 1 % zu A und 2% zu K, also bleiben in C 97 %. Nach diesen Überlegungen kanst Du Dir die Übergangsmatrix, die 9 Elemente enthält, aufstellen.
Probier es mal.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Mo 16.09.2013 | | Autor: | luna19 |
Hallo :)
Danke für die Antwort,ich habe die Aufgabe nochmal gemacht und bekomme folgende Ergebnisse heraus:
[mm] a)\pmat{ 0,97 & 0,01 & 0,03\\ 0,01 & 0,97 &0,02 \\ 0,02& 0,02 & 0,95}
[/mm]
[mm] v1:\vektor{60 \\ 8\\ 32}
[/mm]
[mm] v2:\vektor{59 \\ 9\\ 32}
[/mm]
[mm] v3:\vektor{59 \\ 10\\ 31}
[/mm]
Bei der b) komme ich nicht weiter :/
danke :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Mo 16.09.2013 | | Autor: | Rated-R |
> Hallo :)
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> Danke für die Antwort,ich habe die Aufgabe nochmal gemacht
> und bekomme folgende Ergebnisse heraus:
>
> [mm]a)\pmat{ 0,97 & 0,01 & 0,03\\ 0,01 & 0,97 &0,02 \\ 0,02& 0,02 & 0,95}[/mm]
>
> [mm]v1:\vektor{60 \\ 8\\ 32}[/mm]
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> [mm]v2:\vektor{59 \\ 9\\ 32}[/mm]
>
> [mm]v3:\vektor{59 \\ 10\\ 31}[/mm]
>
> Bei der b) komme ich nicht weiter :/
>
> danke :)
Hallo luna19,
bei der a steht auch noch dass man das Gleichgewicht berechnen soll, das heißt man soll einen "Vektor" x finden mit A*x=x , dessen Komponenten sollen nicht negativ sein und seine Komponentensumme soll gleich 1 sein.
Eine Möglichkeit diesen zu bestimmen ist den Kern(A-Id) zu berechnen, da die Matrix den Eigenwert 1 hat ist dies möglich.
zur b)
hat man den Gleichgewichtsvektor gefunden ist diese ganz einfach
man betrachte die Matrix:
[mm] \pmat{ 0,97 & 0,01 & u\\ 0,01 & 0,97 &0,02 \\ 0,02& 0,02 & 0,95-u} [/mm]
Ich hoffe ich konnte helfen,
mfg Tom
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:08 So 22.09.2013 | | Autor: | luna19 |
Hallo :)
Danke für deine Antwort!
ich habe mal die Aufgabe versucht,bin mir unsicher,ob sie richtig ist.
a) Gleichgewichtsvektor
[mm] \pmat{ -0,03 & 0,01& 0,03 & 0\\ 0,01 & -0,03& 0,02 & 0\\ 0,02 & 0,02& -0,05& 0 }
[/mm]
GTR liefert [mm] \pmat{ 1 & 0& \bruch{-11}{8} & 0\\ 0 &1& \bruch{-9}{8} & 0\\ 0 & 0& 0& 0 }
[/mm]
Die Nullzeile zeigt an,dass es unendlich viele Lösungen gibt,da die Spalte aber 1 sein habe ich gerechnet:
[mm] \bruch{11}{8}x3+\bruch{9}{8}x2+x3=1
[/mm]
[mm] x3=\bruch{2}{7}
[/mm]
[mm] \pmat{\bruch{11}{28} \\ \bruch{9}{28} \\ \bruch{2}{7}}
[/mm]
Danke !!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 So 29.09.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 10:32 So 22.09.2013 | | Autor: | luna19 |
Hallo :)
Ich habe die b) auch noch gemacht, und ich weiß auch hier nicht,ob die Rechnung richtig ist:
$ [mm] \pmat{ 0,97 & 0,01 & u\\ 0,01 & 0,97 &0,02 \\ 0,02& 0,02 & 0,95-u} [/mm] $*
[mm] \pmat{ 50 \\ 32 \\ 18}=\pmat{ 50 \\ 32 \\ 18}
[/mm]
und daraus kann man die folgende Gleichung ableiten:
0,97*50+0,01*32+18u=50
48,82+18u=50
18u=1,18
u=0,07
Der jährliche Prozentsatz muss sich auf 7% erhöhen,damit im Gleichgewichtszustand mindestens 50% der Bevölkerung christlich sind.
Danke !!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 So 29.09.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Di 17.09.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo luna,
schau Dir noch mal die letzte Zeile der Übergangsmatrix an, da steckt noch ein kleiner Fehler drin.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 So 22.09.2013 | | Autor: | luna19 |
Hallo :)
Ich habe ziemlich lange überlegt,was der Fehler sein könnte,aber ich komme nicht darauf. :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 So 22.09.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Matrix muss nicht [mm] \pmat{ 0,97 & 0,01 & u\\ 0,01 & 0,97 &0,02 \\ 0,02& 0,02 & 0,95-u} [/mm] sondern
[mm] \pmat{ 0,97 & 0,01 & u\\ 0,01 & 0,97 &0,02 \\ 0,02& 0,02 & 0,98-u} [/mm] lauten.
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