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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 Sa 09.04.2005 | | Autor: | bunen |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi Leute,
mein erster Beitrag = erste Frage:
Habe hier eine Bellmann Gleichung, die eine Wertfunktion in MAtrixschreibweise ausdrückt. Dabei kommt einen Übergangsmatrix vor.Kann damit gar nichts anfangen.Hängt das immer mit einer Markovkette zusammen.
Weiss nichts damit anzufangen.Die Matrix lautet:
p_i,j={1-x_i wenn j=i-1,x_i wenn j=i+1,0 sonst.
wobei j,i {o,....,n^} n bedeutet hier Vermögen
Bitte dringend um Hilfe. VIELLLLLEN DANK
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Sa 09.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo bunen!
Die Sachlage ist eigentlich ganz einfach!
Du hast einen Vermögensprozess [mm] $(X_t)_{t \in \IN_0}$, [/mm] der dir zu jedem diskreten Zeitpunkt $t$ das Vermögen zur Zeit $t$ angibt. Das Vermögen kann einen Wert aus [mm] $\IZ$ [/mm] annehmen (wenn man auch Schulden zulässt; ansonsten spricht man beim Eintreten in den Zustand $0$ vom Ruin).
Wie sich das Vermögen vom Zeitpunkt $t$ zum Zeitpunkt $t+1$ entwickelt, hängt nur vom Zustand des Vermögens zum Zeitpunkt $t$ ab (und nicht etwa vom Zustand des Vermögens zu irgendeinem Zeitpunkt $s$ mit $s<t$). So einen Prozess nennt man Markov-Prozess.
Die Wahrscheinlichkeit, wie sich der Vermögensprozess vom Zeitpunkt $t$ zum Zeitpunkt $t+1$ entwickelt, hängt ebenfalls nicht vom Zeitpunkt $t$ selbst ab, sondern nur vom Zustand des Vermögens zum Zeitpunkt $t$. Solch einen Markov-Prozess nennt man (zeit)-homogen.
Nun ja, welche Möglichkeiten hat der Vermögensprozess zum Zeitpunkt $t$, wenn er sich dort im Zustand $i$ befindet? Entweder er erhöht seinen Wert um eins (die Wahrscheinlichkeit dafür ist [mm] $x_i$, [/mm] sie hängt also durchaus vom Zustand $i$ ab, aber -wie gesagt- nicht vom Zeitpunkt $t$) oder aber er erniedrigt seinen Wert um eins (wie Wahrscheinlichkeit dafür ist [mm] $1-x_i$). [/mm] Andere Übergänge können nicht auftreten bzw. sie haben die Wahrscheinlichkeit $0$.
Es gilt also:
[mm] $P(X_{t+1}=i-1 |X_t=i) [/mm] = [mm] 1-x_i$
[/mm]
[mm] $P(X_{t+1} [/mm] = [mm] i+1|X_t=i)=x_i$.
[/mm]
Diese Elemente kann man nun in einer (unendlichen) Matrix anordnen, obei der Eintrag in der $j$-ten Zeilen und $i$-ten Spalte gerade
[mm] $P(X_t=j|X_t=i)$
[/mm]
ist (oder aber genau andersherum, das hängt von der Definition ab, die nicht immer gleich ist). In dem von mir beschriebenen Fall muss die Spaltensumme gleich $1$ sein (denn irgendwohin muss der Prozess ja wandern).
Hier wären ja fast alle Einträge der Matrix $0$. Finde doch mal heraus (das siehst du aber sicherlich sofort), welche Form die Nicht-Nulleinträge haben.
Genau, nur die beiden ersten Nebendiagonalen sind besetzt!
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 15:47 So 10.04.2005 | | Autor: | bunen |
oh gott,oh gott.die antwort war perfekt und jetzt habe ich gleich noch ne frage:
es geht um die diff. einer bellmann-gleichung,mit hilfe des envelope-theorems:
es soll dv:d [mm] \pi [/mm] abgeleitet werden.
v=max u + [mm] \beta[(1-\pi)I+\pi [/mm] P]v
die lösung lautet:
[mm] \delta:\pi(i-\delta [/mm] P)^-1 (P-I)v
wobei [mm] \delta [/mm] = [mm] \pi \beta [/mm] : [mm] 1-\beta (1-\pi) [/mm] ist
ich komme nicht auf die Lösung,vielleicht könnt ihr mir helfen.wäre super!!
Danke
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