Überführung v. Punkten < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zu zeigen:
3 getrennte Punkte [mm] z_{1}, z_{2}, z_{3} [/mm] können immer durch genau eine Möb.transf. b = l(z) in 3 vorgeschriebene Punkte [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3} [/mm] überführt werden. |
Hallo,
kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Ich weiß nicht, wie ich vorgehen soll. :-(
Ich stelle mir vor, dass die 3 Punkte sich in einer Ebene befinden, und dass v = l(z) = [mm] \bruch{az+b}{cz+d} [/mm] gilt. Und wie mache ich jetzt daraus die gesuchte Abbildung? Kann ich einfach festlegen, dass [mm] z_{1} [/mm] auf [mm] v_{1}, z_{2} [/mm] auf [mm] v_{2} [/mm] usw. abgebildet wird, also dass [mm] v_{1} [/mm] = [mm] l(z_{1}) [/mm] = [mm] \bruch{az_{1}+b}{cz_{1}+d} [/mm] usw?
Es wäre schön, wenn mir jemand erklären könnte, was ich bei der Aufgabe zu tun hätte.
VIELEN DANK.
Gruß, Infinity
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Do 24.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
dein Ansatz ist richtig. Du setzt einfach [mm] l(z_{i})=v_{i} [/mm] i=1,2,3. Wenn du das nun ausführlich hinschreibst, hast du 3 Gleichungen, indenen die Konstanten a,b,c,d der Möbius-Transformation auftauchen. Deine Aufgabe ist es nun diese Konstanten in Abhängigkeit von den gegebenen 6 Punkten zubestimmen. Dazu löst du das obige Gleichungssystem.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Hallo,
danke für den Hinweis. Ich habe nun da stehen:
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \bruch{az_{1}+b}{cz_{1}+d}
[/mm]
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] \bruch{az_{2}+b}{cz_{2}+d}
[/mm]
[mm] v_{3} [/mm] = [mm] \bruch{az_{3}+b}{cz_{3}+d}
[/mm]
Aber irgendwie stell ich mich einfach zu blöd an, dieses Gleichungssystem mit 4 Unbekannten zu lösen (ist schon lange her, wo ich das letzte mal sowas gemacht hab...  ).
Also ich habs nun so gemacht, bin mir aber unsicher, ich hoffe du hilfst mir weiter:
[mm] (cz_{1}+d)*v_{1} [/mm] = [mm] az_{1}+b \gdw cz_{1}v_{1}+dv_{1} [/mm] = [mm] az_{1}+b
[/mm]
Ich habe jetzt einfach nach einem Buchstaben meiner Wahl aufgelöst, z.B. c, also c = [mm] \bruch{az_{1}+b-dv_{1}}{z_{1}v_{1}}, [/mm] das analog für die 2. und 3. Gleichung, also c = [mm] \bruch{az_{2}+b-dv_{2}}{z_{2}v_{2}} [/mm] und c = [mm] \bruch{az_{3}+b-dv_{3}}{z_{3}v_{3}}, [/mm] dann habe ich alles gleichgesetzt, und erhalte: c = [mm] \bruch{az_{1}+b-dv_{1}}{z_{1}v_{1}} [/mm] = [mm] \bruch{az_{2}+b-dv_{2}}{z_{2}v_{2}} [/mm] = [mm] \bruch{az_{3}+b-dv_{3}}{z_{3}v_{3}}
[/mm]
Wie muss ich hier nun weiter vorgehen? Analog würde ich das jetzt für die Koeffizienten a und b auch machen. Aber viel hat mir das nicht gebracht, oder? Weil immer jeweils 2 Konstanten unbekannt sind, z.b. ist jetzt in der Gleichung nach c aufgelöst a und b unbekannt.
Hoffentlich kann mir jemand weiterhelfen.
DANKE!
Gruß, Infinity
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Do 31.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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