Überdeckungskompakte Menge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 So 01.07.2007 | | Autor: | mariluz |
| Aufgabe | Eine Menge M heisst überdeckungkompakt, wenn man zu jeder offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckungen finden kann,d.h. [mm] M\subseteq \bigcup_{i\in I}U_{i}\Rightarrow M\subseteq\bigcup_{j=1}^{n}U_{j} [/mm] für alle Indexmengen I und offenen [mm] U_{i}.
[/mm]
Zeigen Sie für [mm] a,b\in\IR,a
(1) [mm] \IR,(a,b) [/mm] sind nicht überdeckungskompakt.
(2) [mm] \emptyset,(a,b) [/mm] sind überdeckungskompakt.
(3) Jede überdeckungskompakte Menge in [mm] \IR [/mm] ist beschränkt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich glaube ich verstehe schon,was es überdeckungskompakt bedeutet aber ich weiss nicht, wie ich mit dem Beweis anfangen soll, was für ein Beweis,...
Könntet ihr bitte mir ein Tipp geben?
Vielen Dank,
Mariluz
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> Eine Menge M heisst überdeckungkompakt, wenn man zu jeder
> offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckungen finden
> kann,d.h. [mm]M\subseteq \bigcup_{i\in I}U_{i}\Rightarrow M\subseteq\bigcup_{j=1}^{n}U_{j}[/mm]
> für alle Indexmengen I und offenen [mm]U_{i}.[/mm]
> Zeigen Sie für [mm]a,b\in\IR,a
>
> (1) [mm]\IR,(a,b)[/mm] sind nicht überdeckungskompakt.
> (2) [mm]\emptyset,(a,b)[/mm] sind überdeckungskompakt.
> (3) Jede überdeckungskompakte Menge in [mm]\IR[/mm] ist
> beschränkt.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich glaube ich verstehe schon,was es überdeckungskompakt
> bedeutet aber ich weiss nicht, wie ich mit dem Beweis
> anfangen soll, was für ein Beweis,...
Zu (1) gibst Du einfach je ein Beispiel einer offenen Überdeckung von [mm]\IR[/mm] bzw. [mm](a,b)[/mm] an, für die es keine endliche Teilüberdeckung gibt. Ein solches Gegenbeispiel für [mm]\IR[/mm] könnte etwa folgende Überdeckung mit offenen Intervallen sein: [mm]U_k := (k-1,k+1), k\in \IZ[/mm]. Nun musst Du aber erklären, weshalb es davon keine endliche Teilüberdeckung von [mm]\IR[/mm] gibt.
Zu (2): Ich glaube hier gibt es einen Schreibfehler zu beklagen, denn unter a) war ja schon verlangt, dass Du zeigst, dass ein offenes Intervall [mm](a,b)[/mm] nicht überdeckungskompakt ist. Gemeint ist in b) vermutlich, dass abgeschlossene Intervalle [mm][a,b][/mm] übereckungskompakt sind.
Dass die leere Menge übereckungskompakt ist, ist klar, denn man kann ja einfach die (offensichtlich endliche) leere Teilüberdeckung nehmen, um die leere Menge zu überdecken.
Dass abgeschlossene Intervalle [mm][a,b][/mm] überdeckungskompakt sind, kann man m.E. indirekt zeigen: angenommen es gäbe eine offene Überdeckung eines abgeschlossenen Intervalls [mm][a,b][/mm], aus der sich keine endliche Teilüberdeckung von [mm][a,b][/mm] finden liesse, dann gäbe es eine Folge in [mm][a,b][/mm], die keinen Häufungspunkt besitzt. (Widerspruch zu "Satz von Bolzano-Weierstrass").
Zu (3): Du kannst eine solche überdeckungskompakte Menge [mm]M[/mm] mit [mm]U_r := (r-1,r+1), r\in \IR[/mm] überdecken. Da es, nach Voraussetzung, eine endliche Teilüberdeckung gibt, muss also [mm]M\subseteq \bigcup_{i=1}^n U_{r_i}[/mm] sein, für geeignet gewählte Indices [mm]r_i, i=1,\ldots, n[/mm]. Daraus folgt aber, dass [mm]M[/mm] durch [mm]R := \max\{|r_i|, i=1,\ldots,n\}+1[/mm] beschränkt ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Mo 02.07.2007 | | Autor: | mariluz |
Alles klar! Vielen Dank!
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