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| Aufgabe | Es geht um die Überbuchungen von Fluggesellschaften:
Es wird angenommen, dass jeder Passagier mit Wkeit p=0.03 nicht seinen Flug antritt. Betrachtet wird ein Flugzeug mit n Plätzen.
(a) Wie viele Tickets m kann die Fluggesellschaft zusätzlich zu den n Tickets verkaufen, so dass im Mittel mit keiner Überbelegung der Plätze zu rechnen ist?
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Guten Tag,
Die Anzahl der Buchungen kann man ja als Summe von Bernoulli-verteilten ZVen [mm] X_i [/mm] schreiben:
[mm] S_n [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n X_k, [/mm] wobei die [mm] X_k [/mm] unabhängig und identisch verteilt zu p sind, d.h. [mm] E(X_k) [/mm] = p und [mm] Var(X_k) [/mm] = p(1-p).
gesucht ist doch dann P(Y>122) soll kleiner sein als irgendein Mittelwert? Was ist mit "im Mittel" gemeint?
Mfg [mm] M^2
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:54 Sa 25.08.2007 | | Autor: | Vreni |
Hallo MausMaeusezahn,
ich denke mal mit der Formulierung "im Mittel" ist der Erwartungswert E gemeint. Der ist bei einer Binomialverteilung ja allgemein durch E=n*p gegeben, wobei n die Anzahl der Zufallsexperimente (also bei uns der Passagiere) und p die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses.
Konkret zur Aufgabe: gefordert ist, dass der Erwartungswert der Passagiere, die ihren Flug nicht Antritt (E=(m+n)*0,03 , m und n wie in Aufgabenstellung, die Summe, weil ja der Erwartungswert von allen Passagieren, die gebucht haben benötigt wird) größer ist als die Überbuchung m:
[mm] $$(m+n)*0,03\ge [/mm] m$$
Ich hoffe, dass ich dir etwas weiterhelfen konnte,
Gruß,
Vreni
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Hallo Vreni,
danke für deine Hilfe. So ganz versteh ich es aber noch nicht.
Ich dachte eigentlich die Aufgabe sei mit den Zentralen Grenzwertsatz zu lösen, aber so wie du schreibts wäre ja nun die Wkeit
[mm] P(S_n [/mm] > 122) gesucht, die kleiner als (n+m)*0.03 sein soll...??
damit komm ich aber nicht weiter, weil ich so ja keinen Wert aus der Tabelle bestimmen kann...??
Viele Grüße
[mm] M^2
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Sa 25.08.2007 | | Autor: | Vreni |
Hallo MausMaeusezahn,
leider weiß ich nicht, aus welchem Zusammenhang und zu welchem Hintergrundwissen die Aufgabe kommt, außerdem vermute ich mal, dass das nicht die ganze Aufgabenstellung ist, da du immer mal aus dem nichts eine "122" auftauchen lässt, die ich so gar nicht einordnen kann. Kannst du das bitte klarstellen?
Ich versuche jetzt einfach nochmal die Aufgabenstellung so zu formulieren, wie ich sie verstanden habe:
Ein Flugzeug hat n Plätze. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fluggast, der gebucht hat, den Platz nicht braucht ist p=0,03. Die Frage ist nun, wieviele Plätze m gebucht werden können (so dass also insegsamt m+n Plätze gebucht sind), damit "im Mittel" jeder auch einen Platz bekommt.
Ich denke mal, wir sind uns einig, dass dieses "im Mittel" auf jeden Fall wohl eine etwas unglückliche Formulierung ist. Ich hatte halt die Idee, dass man eben die Anzahl der nicht zum Flug antretenden Personen über einen langen Zeitraum hin betrachtet, und dieser Grenzwert ist dann eben nichts anderes als der Erwartungswert (m+n)*p. Wenn die Anzahl dieser Personen größer ist als m, also die Überbuchung, hat man im Flugzeug keine Platzprobleme (zumindest über diesen langen Zeitraum gemittelt).
Wie schon gesagt, ich bin mir auch nicht sicher, ob das gefragt ist, aber mir ist bis jetzt auch kein besserer Lösungsansatz eingefallen, wenn jemand irgendwas Grundlegendes gegen meinen einzuwenden hat oder den genialen Einfall hat, also bitte melden!
Gruß,
Vreni
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Hi Vreni,
sorry, in der Aufgabenstellung müsste es "Betrachtet wird ein Flugzeug mit n=122 Plätzen" , das hab ich vergessen abzutippen.
Dann ist es aber vollständig! :)
Es gibt noch eine Teilaufgabe b):
Die Fluggesellschaft habe n+m Tickets verkauft, wobei m den in a) errechneten Wert bezeichnet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wollen mehr als n Passagiere ihren Flug antreten ?
Also d.h. doch dass in Teil a) m konkret berechnet werden muss...?
Wir hatten mal eine ähnliche Aufgabe im Zhsg mit dem zentralen Grenzwertsatz, allerdings war da für das "im Mittel" eine konkrete Zahl gegeben, dann war das ja auch kein Problem....
--- aber so ???
Viele Grüße,
[mm] M^2
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:46 So 26.08.2007 | | Autor: | Vreni |
Hallo [mm] M^2,
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mit meiner Methode könnte man bei der a) auch eine konkreten Wert berechnen (bei dem gegebenen n), denn mit dem Ansatz wäre [mm] m\le \frac{0,03}{0,97}*n, [/mm] hier [mm] m\le \frac{0,03}{0,97}*122\approx [/mm] 3,7, also wählen wir m=3 (für m=4 gäbe es ja im Erwartungswert-Mittel Überbuchung und ich denke mal, wir wollen soviel Tickets wie möglich verkaufen). Also werden insgesamt m+n=125 Tickets verkauft. Dann ist bei b) [mm] $$P(X>n)=P(X>122)=\sum_{k=123}^{125}{B(125, 0,97 , k)}=\sum_{k=0}^{2}{B(125, 0,03 , k)}=$$ [/mm] $$={125 [mm] \choose 0}(0,03)^{0}*(0,97)^{125}+{125 \choose 1}(0,03)^{1}*(0,97)^{124}+{125 \choose 2}(0,03)^{2}*(0,97)^{123}\approx [/mm] 0,273$$ Interessant daran wäre, dass diese Wahrscheinlichkeit deutlich unter 50% liegt, die man (also ich eben) erwartet hätte, wenn man bei der a) nicht hätte abrunden müssen. Außerdem ergibt sich für P(X>121) immer noch ein Wert kleiner 0,5.
Aber ob dass das ist, was in der Aufgabe gesucht ist, weiß ich wirklich nicht und ich glaube, dass ich dir hier nicht mehr weiterhelfen kann, mehr als ich schon geschrieben habe, fällt mir nicht ein.
Gruß,
Vreni
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Hi Vreni,
danke, das ist cool. Ich hab das ganze mit Hilfe des ZGWs ausgerechnet und komm auch auf m=3.
Meinst du man kann das auch so lösen:
Anzahl genutzter Flüge: [mm] Y=\sum_{k=1}^n x_k [/mm] mit [mm] X_k=1 [/mm] falls Flug genutzt, 0 sonst.
Dann ist P(X=0) = 0.03 und P(X=1)=0.97.
Weiter ist der Erwartungswert [mm] \mu [/mm] = 0.97, [mm] \sigma^2 [/mm] = 0,03*0.97=0.0291.
Plätze im Flugzeug sei a=122.
P(Y>122) = 1 - P(Y [mm] \leq [/mm] 122)
= 1 - P( [mm] \frac{1}{\sqrt{n \sigma^2}} [/mm] ( Y - n [mm] \mu) \leq \frac{1}{\sqrt{n \sigma^2}}(122-n \mu))
[/mm]
= 1 - [mm] \Phi_{0,1} (\frac{1}{0.17\sqrt{n}}(122- [/mm] 0.97n )) < 0.97
d.h. [mm] \Phi_{0.1} (\frac{1}{0.17\sqrt{n}}(122- [/mm] 0.97n )) > 0.03 (wert aus der Tabelle der Standardnormalverteilung)
... das ganze nach n aufgelöst ergibt n= 125,71. Daraus folgt, dass m=125-122=3 ist.
Für die Wkeit P(Y>122) mit m=3 bekomm ich den Wert 0.3483 heraus, ist ja fast dasselbe wie deine exakte Lösung.
Also wäre dieser Weg auch richtig, oder ist das nur Zufall dass das gleiche herauskommt?
Viele Grüße
[mm] M^2
[/mm]
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Den zentralen Grenzwertsatz (übergang von Binomial- zur Normalverteilung) sollte man nur benutzen, wenn die Varianz [mm] \ge [/mm] 9 ist, weil sonst die Fehler zu groß werden. Hier ist aber [mm] Var=npq=122*0,03*0,97\approx [/mm] 3,66 und damit viel zu klein. Andererseits findest du keine Tabelle für die Bin.-Verteilung für n=122, und von daher ist die Aufgabe ungeschickt gestellt.
Für eine ideale Aufgabenstellung sieht das Ganze so aus: Bei 125,773 Buchungen springen im Durchschnitt 3% ab, womit du genau 122 übrig behältst. Da die Normalverteilung um den Ursprung genau achsensymmetrisch liegt, ist ihre Transformation auf dieses Problem genau achsensymmetrisch um 122. Das bedeutet: In genau 50% der Fälle springen mehr ab, so dass genug Platz ist, in genau 50 % der Fälle springen weniger ab, so dass überbucht ist. Ich interpretiere somit "im Mittel keine Überbelegung" mit: in der Hälfte der Fälle keine Überbelegung, halte das aber in der Realität für Schwachsinn (Probleme auf jedem zweiten Flug!).
Wie man nun aber 125,773 Karten verkauft, überlasse ich dir. Am besten machst du nun die Rechnung mit 125 Karten und hast nur die von dir berechneten 34,8 %, musst dann aber auch gelegentlich 126 Karten verkaufen, damit du insgesamt auf deine 50 % Quote kommst (Schwachsinn, s.o.). Beim richtigen Mischungsverhältnis von 125 und 126 erreichst du dann die 50 %.
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Hallo,
oh das ist kompliziert! Wäre mal interessant zu wissen, wie sich der Aufgabensteller das gedacht hat...
Aber vielen Dank für deine Erklärungen!
Viele Grüße,
[mm] M^2
[/mm]
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