Überabzählbarkeit von Mengen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 So 09.01.2011 | | Autor: | Causal |
| Aufgabe | Sei A ungleich der leeren Menge. Ansonsten eine beliebige Teilmenge der reellen Zahlen. Wir nennen A eine *-menge, falls A //* steht für Stern
*_{1}: abgeschlossen ist und
*_{2}: nur aus Häufungspunkten besteht.
Zeige, dass jede *-Menge überabzählbar ist.
Hinweis: Benutzen sie einen Widerspruchsbeweis. |
Ich hab leider keine Ahnung, wie ich da rangehen soll und ich muss die HA bis morgen abgeben ;(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Mo 10.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei A ungleich der leeren Menge. Ansonsten eine beliebige
> Teilmenge der reellen Zahlen. Wir nennen A eine *-menge,
> falls A //* steht für Stern
>
> *_{1}: abgeschlossen ist und
> *_{2}: nur aus Häufungspunkten besteht.
>
> Zeige, dass jede *-Menge überabzählbar ist.
>
> Hinweis: Benutzen sie einen Widerspruchsbeweis.
> Ich hab leider keine Ahnung, wie ich da rangehen soll und
> ich muss die HA bis morgen abgeben ;(
Der Hinweis auf einen Widerspruchsbeweis gibt dir doch einen Startpunkt: du nimmst an, es gebe eine nichtleere, abzählbare *-Menge und konstruierst einen Widerspruch.
Tipp: Wenn A abzählbar ist, so gibt es eine Bijektion zwischen A und [mm] $\IN$. [/mm] Das heißt, du kannst die Menge in der Form [mm] $A=\{x_n\mid n\in \IN\}$ [/mm] schreiben. Fasse das als Folge in [mm] $\IR$ [/mm] auf und überlege dir, dass es sich nicht um eine Cauchyfolge handeln kann.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Di 11.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei A ungleich der leeren Menge. Ansonsten eine beliebige
> Teilmenge der reellen Zahlen. Wir nennen A eine *-menge,
> falls A //* steht für Stern
>
> *_{1}: abgeschlossen ist und
> *_{2}: nur aus Häufungspunkten besteht.
>
> Zeige, dass jede *-Menge überabzählbar ist.
>
> Hinweis: Benutzen sie einen Widerspruchsbeweis.
> Ich hab leider keine Ahnung, wie ich da rangehen soll und
> ich muss die HA bis morgen abgeben ;(
Wir nehmen an, dass A abzählbar ist, also [mm] $A=\{a_1,a_2, a_3, ...\}$.
[/mm]
Ist nun [mm] $a_j \in [/mm] A$ und r>0, so gilt
(*) [mm] $([a_j-r,a_j+r] \cap [/mm] A) [mm] \setminus \{a_j\} \ne \emptyset$,
[/mm]
da [mm] a_j [/mm] Häufungspunkt von A ist.
Da A eine abgeschlossene Teilmenge von [mm] \IR [/mm] ist, ist A mit der Metrik d(x,y)=|x-y| ein vollständiger Metrischer Raum. Für [mm] j\in \IN [/mm] setzen wir:
[mm] $A_j:=\{a_j\}$.
[/mm]
Dann ist jedes [mm] A_j [/mm] abgeschlossen in A und [mm] $A=\bigcup_{j=1}^{\infty}A_j$.
[/mm]
Aus dem Baireschen Kategoriesatz folgt nun: es ex. ein i [mm] \in \IN [/mm] und ein r>0 mit:
[mm] $[a_i-r,a_i+r] \cap [/mm] A [mm] \subseteq \{a_i\}$,
[/mm]
also
[mm] $([a_i-r,a_i+r] \cap [/mm] A) [mm] \setminus \{a_i\} [/mm] = [mm] \emptyset$,
[/mm]
im Widerspruch zu (*).
Bemerkungen:
Natürlich ist der Kategoriesatz ein mächtiges Geschütz, aber ein "elementarer" Beweis ist mir nicht eingefallen.
Man kann natürlich die Argumente für die Aussage des Kategoriesatzes in obige Situation verpflanzen und nachkupfern, dann hat man einen elementaren Beweis.
Es wäre schön, wenn der Fragesteller die Musterlösung, wenn er eine hat, hier im Forum präsentiert.
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Di 11.01.2011 | | Autor: | Causal |
Erstmal vielen Dank an euch Beiden für die Bemühungen.
Da die Antworten etwas spät kamen, habe ich mich nicht mehr damit beschäftigt.
Eine Musterlösung gibt es leider auch keine, aber zu deinem Beweis über die Metrik und den Kategoriesatz. Wir hatten die Metrik gar nicht behandelt, daher weiß ich nicht genau, was für Schritte du vollzogen hast.
Da die Frist eh abgelaufen ist, kann das Thema gerne geschlossen werden.
Danke nochmal =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 Di 11.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal vielen Dank an euch Beiden für die Bemühungen.
> Da die Antworten etwas spät kamen,
Na, da biiten wir doch mal gnädigst um Entschuldigung ! Deine Frage kam am Sonntag um 22:51 Uhr . Und Montag , also gestern, mußtest Du abgeben.
Da diejenigen im Forum, die Antworten geben, Maschinen sind, kamen die Antworten in der Tat etwas spät. Leider mußten wir geölt werden. Jetzt sind wie wieder topfit
FRED( die Maschine)
> habe ich mich nicht
> mehr damit beschäftigt.
> Eine Musterlösung gibt es leider auch keine, aber zu
> deinem Beweis über die Metrik und den Kategoriesatz. Wir
> hatten die Metrik gar nicht behandelt, daher weiß ich
> nicht genau, was für Schritte du vollzogen hast.
> Da die Frist eh abgelaufen ist, kann das Thema gerne
> geschlossen werden.
>
> Danke nochmal =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:27 Di 11.01.2011 | | Autor: | Causal |
Hey Fred, so meinte ich das nicht.
Ich wollte nur damit sagen, dass ich mich nicht mehr mit der Aufgabe beschäftige, weil die Frist abgelaufen ist. Klar, es ist meine Schuld, dass ich es so spät reingestellt habe.
Bitte um Verzeihung, falls es falsch rübergekommen ist =)
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