ubestimmtes Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Sa 12.02.2005 | | Autor: | krckstck |
Hallo ich muss folgendes Integral bestimmen:
[mm] $\integral_{}^{} {\bruch{x^2}{\wurzel{a^2-x^2}} dx}$
[/mm]
Bin schon soweit, doch weiss ich net weiter...
[mm] $\integral_{}^{}{\bruch{x^2}{\wurzel{a^2-x^2}} dx}$
[/mm]
$= [mm] -\integral_{}^{}{\bruch{-x^2 + a^2 - a^2}{\wurzel{a^2-x^2}} dx}$
[/mm]
$= [mm] -\integral_{}^{}{\bruch{a^2 -x^2 - a^2}{\wurzel{a^2-x^2}} dx}$
[/mm]
$= [mm] -\integral_{}^{}{(\bruch{a^2 -x^2}{\wurzel{a^2-x^2}} - \bruch{a^2}{\wurzel{a^2-x^2}}) dx}$
[/mm]
Gruß
Krckstck
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo krckstck!
Kleine Anmerkung zu unserem Formel-Editor ...
Du mußt jede Formel mit folgenden Zeichen einfassen:
[mm] ... [/mm] oder
$ ... $
Und für Brüche : \bruch{...}{...} (mit einem kleinen "b").
Ich habe das mal in Deiner Frage abgeändert. Bitte das nächste mal beachten.
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Krckstck
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo ich muss folgendes Integral bestimmen:
>
> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{x^2}{\wurzel{a^2-x^2}} dx}[/mm]
>
> Bin schon soweit, doch weiss ich net weiter...
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x^2}{\wurzel{a^2-x^2}} dx}[/mm]
>
> [mm]= -\integral_{}^{}{\bruch{-x^2 + a^2 - a^2}{\wurzel{a^2-x^2}} dx}[/mm]
>
>
> [mm]= -\integral_{}^{}{\bruch{a^2 -x^2 - a^2}{\wurzel{a^2-x^2}} dx}[/mm]
>
>
> [mm]= -\integral_{}^{}{(\bruch{a^2 -x^2}{\wurzel{a^2-x^2}} - \bruch{a^2}{\wurzel{a^2-x^2}}) dx}[/mm]
>
Meiner Meinung nach geht es weiter, indem du die beden Ausdrücke einzeln integrierst:
[mm] $\integral{\bruch{a^2 -x^2}{\wurzel{a^2-x^2}}\, dx}=$
[/mm]
[mm] $\integral{\wurzel{a^2 -x^2}\, dx}=$
[/mm]
Hier sollte die Substitution $x = [mm] a*\sin{u}$ [/mm] mit [mm] $dx=a*\cos{u}du$ [/mm] zum Ziel führen.
Beim 2. Integral
[mm] $\integral{\bruch{a^2}{\wurzel{a^2-x^2}}\, dx}$
[/mm]
Würde ich die Substitution $x=au_$ mit $dx=a du_$ vorschlagen
Eine Stammfunktin von [mm] $\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}$ [/mm] ist ja [mm] $\arcsin(x)$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Sa 12.02.2005 | | Autor: | krckstck |
Kannst du mir evtl die Substitution an dem Integral erklären? Wäre sehr hilfreich. Danke schonmal vorweg
Gruß
Tom
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Krckstck
> Kannst du mir evtl die Substitution an dem Integral
> erklären? Wäre sehr hilfreich. Danke schonmal vorweg
Also, ich zeige es am ersten Integral, am 2. rechnest du es dann vor!
[mm] $\intregral{\wurzel{a^2-x^2}\, dx}$
[/mm]
Der Ausdruck unter der Wurzel erinnert ja stark an:
[mm] $a^2-a^2\sin^2(x)=a^2\cos^2(x)$
[/mm]
darum die Idee:
$x = [mm] a\sin(u)$
[/mm]
Dann gilt ja: [mm] $\bruch{dx}{du}=a\cos(u)$
[/mm]
oder eben: [mm] $dx=a\cos(u) [/mm] du$
Somit ergibt das Integral:
[mm] $\integral{a\cos{u}*a\cos(u)\, du}=$
[/mm]
[mm] $a^{2}\integral{\cos^2(u)\, du}=$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}(\sin(u)\cos(u)+u)+const.$
[/mm]
Jetzt brauchst du nur noch die Substitution rückgängig zu machen:
[mm] $\sin(u)=\bruch{x}{a}$
[/mm]
Das gibt dann wohl:
[mm] $\bruch{1}{2}(\bruch{x}{a}\wurzel{1-\bruch{x^2}{a^2}}+\arcsin(\bruch{x}{a}))+const.$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 So 13.02.2005 | | Autor: | krckstck |
Danke. Aber ich komm da trotzdem net wirklich weiter. Wie muss ich den am 2. Integral weiter machen? Hoffe du hilfst mir nochmal
Gruß
Tom
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 So 13.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Krckstck
dann würde ich doch vorschlagen, bei Gelegenheit einen intensiven Blick in dein Script zu werfen.
[mm] $\integral{\bruch{a^2}{\wurzel{a^2-x^2}}\, dx}$
[/mm]
$x:=au_$
$dx:=a*du$
Bekommst du:
[mm] $\integral{\bruch{a^2}{\wurzel{a^2-a^2u^2}}*a\, du}=$
[/mm]
[mm] $a^2\integral{\bruch{1}{\wurzel{1-u^2}}\, du}=$
[/mm]
[mm] $a^2*\arcsin(u)+const.$
[/mm]
Rückgängigmachen der Substitution liefert:
[mm] $a^2*\arcsin(\bruch{x}{a})+const.$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 So 13.02.2005 | | Autor: | krckstck |
Danke, werd ich wohl tun müssen.
Jetzt muss ich nur noch das Ergebnis des 2 Integrals vom 1. Integral subtrahieren, oder?
$ 1/2 [mm] (\bruch{x}{a} \wurzel{1- \bruch{x^2}{a^2}} [/mm] + arcsin [mm] (\bruch{x}{a})) [/mm] +C$ und $ [mm] a^2 [/mm] * arcsin [mm] (\bruch{x}{a}) [/mm] + C $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 So 13.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Krckstck
ich denke ja!
Du musst einfach alle Vorzeichen richtig beachten! Ich habe das jetzt nicht gemacht, ich denke, das solltest du alleine schon schaffen!
Mit lieben Grüssen
Paul
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