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hi,
ich muß zeigen, dass jede der beiden mengen [mm] a=\{1,t,e^{t}, te^{t}\} [/mm] und [mm] b=\{e^{3t},te^{3t}, t^{2}e^{3t}\} [/mm] linear unabh. im vektorraum aller funktionen f: [mm] \IR \to \IR [/mm] ist.
darauf resultiert ja dann, dass jedes eine basis für einen raum, sagen wir v und w ist. also v=<a>, w=<b> jetzt muß ich eine matrixdarstellung angeben für d: v [mm] \to [/mm] v und d: w [mm] \to [/mm] w, wobei d der diff'operator ist d(f)= [mm] \bruch{df}{dt}
[/mm]
so, hier meine zwei kleinen fragen dazu:
wie zeige ich dass eine menge lin unabh. im vektorraum laler funktionen ist? lin. unabh ist mir klar, auch wie man das bei vektoren zeigt, aber bei einer menge??
und die zweite frage: wie bekomme ich eine matrixdarstellung hin, wie oben gewünscht? da habe ich gar keine ahnung von
danke im voraus
greetz
dschingis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Dschingis
> hi,
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> ich muß zeigen, dass jede der beiden mengen [mm]a=\{1,t,e^{t}, te^{t}\}[/mm]
> und [mm]b=\{e^{3t},te^{3t}, t^{2}e^{3t}\}[/mm] linear unabh. im
> vektorraum aller funktionen f: [mm]\IR \to \IR[/mm] ist.
> darauf resultiert ja dann, dass jedes eine basis für einen
> raum, sagen wir v und w ist. also v=<a>, w=<b> jetzt muß ich
> eine matrixdarstellung angeben für d: v [mm]\to[/mm] v und d: w [mm]\to[/mm]
> w, wobei d der diff'operator ist d(f)= [mm]\bruch{df}{dt}[/mm]
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> so, hier meine zwei kleinen fragen dazu:
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> wie zeige ich dass eine menge lin unabh. im vektorraum
> laler funktionen ist? lin. unabh ist mir klar, auch wie man
> das bei vektoren zeigt, aber bei einer menge??
Aber deine Funktionen sind doch Vektoren.
Und Eine Menge von Vektoren ist doch linear unabhängig, wenn der Nullvektor nur als triviale Linearkombination der Vektoren aus der gegebenen Mnge darstellbar ist.
Du hast also (in der ersten Aufgabe) einfach zu zeigen, dass die Gleichung
[mm] $a+bt+ce^t+dte^t=0$
[/mm]
nur erfüllt ist, wenn alle Koeffizienten a, b, c und d Null sind.
Zu beachten: die Null auf der rechten Seite der Gleichung bedeutet die Null-Funktion. Es muss also für alle Werte von t gelten!
> und die zweite frage: wie bekomme ich eine
> matrixdarstellung hin, wie oben gewünscht? da habe ich gar
> keine ahnung von
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Ganz einfach: wie ist denn die Matrix definiert?
Es heisst doch einfach, dass die Spalten die Bilder der Basisvektoren sind.
Dann musst du also einfach mal die Basisvektoren nach t ableiten:
$1'=0$
$t'=1$
[mm] $e^{t}'=e^t$
[/mm]
[mm] $te^{t}'=e^t+te^t$
[/mm]
Nun musst du nur überlegen, mit welcher Linearkombination der Basisvektoren die rechte Seite der Gleichungen dargestellt werden.
Zum Beispiel die 4. Gleichung: die rechte Seite ist doch
[mm] $0*1+0*t+1*e^t+1*te^t$
[/mm]
Hat also die Koordinaten (0,0,1,1).
Insgesamt ergibt sich diese Matrix:
[mm] $\pmat{0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1}$
[/mm]
Ich hoffe, mit diesen wenigen, vagen Angaben kannst du jetzt die Aufgabe erfolgreich in Angriff nehmen.
Wenn nicht, meldest du dich einfach wieder mit deinen Stockungen. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Dschingis |
muchas gracias, jetzt dürfte das ganze glaube ich kein problem mehr sein.
greetz
dschingis
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