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| Aufgabe | Gegeben sei ein Polynom p(x) in seiner Entwicklung nach Tschebyscheff-Polynom
[mm] p(x)=1+T_1(x)+T_2(x)+...+T_8(x)+T_9(x)
[/mm]
Berechne [mm] \summe_{k=0}^{9}p(x_k)^2 [/mm] für [mm] x_k=cos(\bruch{2k+1}{10}\cdot \bruch{\pi}{2}) [/mm] |
Hallo,
Ich sitze seit stunden an der Aufgabe und komme nicht weiter.
erstmal habe ich mit [mm] T_n(x)=cos(narccos(x)) [/mm] für n=0,1 berechnet und dann mit [mm] T_{n+1}=2xT_{n}-T_{n-1}
[/mm]
d.h man erhält dann
[mm] T_0(x)=1
[/mm]
[mm] T_1(x)=x
[/mm]
[mm] T_2(x)=2x^2-1
[/mm]
[mm] T_3(x)=4x^3-3x
[/mm]
[mm] T_4(x)=8x^4-8x^2-1
[/mm]
[mm] T_5(x)=16x^5-20x^3+x
[/mm]
[mm] T_6(x)=32x^6-48x^4+10x^2+1
[/mm]
[mm] T_7(x)=64x^7-112x^5+40x^3+x
[/mm]
[mm] T_8(x)=128x^8-256x^6+128x^4-8x^2-1
[/mm]
[mm] T_9(x)=256x^9-576x^7+368x^5-56x^3-3x
[/mm]
[mm] \rightarrow p(x)=256x^9+128x^8-512x^7-224x^6+272x^5+88x^4-32x^3-4x^2-5x-1
[/mm]
ich hoffe dass ich mich nicht irgendwo verrechnet habe.
dann habe ich für ddie erste stützstelle versucht zu berechnen, dann aufgegeben weil es eine lange rechnung wäre und ich warscheinlich bis morgen dransitze würde.
[mm] x_0=cos(\bruch{\pi}{20})
[/mm]
[mm] p(x_0)=256cos^9(\bruch{\pi}{20})+128cos^8(\bruch{\pi}{20})+...-5cos(\bruch{\pi}{20})-1
[/mm]
dann noch quadrieren...(und das ist nur eine stützstelle!)
gibt es eine etwas schnellere und nicht mit sehr viel rechenaufwand verbundene methode diese aufgabe zu lösen?
Ist es eigentlich richtig meine vorgehensweise?
Dankeschön im voraus.
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Hallo questionpeter,
> Gegeben sei ein Polynom p(x) in seiner Entwicklung nach
> Tschebyscheff-Polynom
>
> [mm]p(x)=1+T_1(x)+T_2(x)+...+T_8(x)+T_9(x)[/mm]
>
> Berechne [mm]\summe_{k=0}^{9}p(x_k)^2[/mm] für
> [mm]x_k=cos(\bruch{2k+1}{10}\cdot \bruch{\pi}{2})[/mm]
> Hallo,
>
> Ich sitze seit stunden an der Aufgabe und komme nicht
> weiter.
>
>
> erstmal habe ich mit [mm]T_n(x)=cos(narccos(x))[/mm] für n=0,1
> berechnet und dann mit [mm]T_{n+1}=2xT_{n}-T_{n-1}[/mm]
>
> d.h man erhält dann
>
> [mm]T_0(x)=1[/mm]
> [mm]T_1(x)=x[/mm]
> [mm]T_2(x)=2x^2-1[/mm]
> [mm]T_3(x)=4x^3-3x[/mm]
> [mm]T_4(x)=8x^4-8x^2-1[/mm]
Hier muss es doch so lauten:
[mm]T_4(x)=8x^4-8x^2\blue{+}1[/mm]
Damit stimmen die weiteren Tschebyscheff-Polynome nicht.
> [mm]T_5(x)=16x^5-20x^3+x[/mm]
> [mm]T_6(x)=32x^6-48x^4+10x^2+1[/mm]
> [mm]T_7(x)=64x^7-112x^5+40x^3+x[/mm]
> [mm]T_8(x)=128x^8-256x^6+128x^4-8x^2-1[/mm]
> [mm]T_9(x)=256x^9-576x^7+368x^5-56x^3-3x[/mm]
>
> [mm]\rightarrow p(x)=256x^9+128x^8-512x^7-224x^6+272x^5+88x^4-32x^3-4x^2-5x-1[/mm]
>
> ich hoffe dass ich mich nicht irgendwo verrechnet habe.
>
> dann habe ich für ddie erste stützstelle versucht zu
> berechnen, dann aufgegeben weil es eine lange rechnung
> wäre und ich warscheinlich bis morgen dransitze würde.
>
> [mm]x_0=cos(\bruch{\pi}{20})[/mm]
>
> [mm]p(x_0)=256cos^9(\bruch{\pi}{20})+128cos^8(\bruch{\pi}{20})+...-5cos(\bruch{\pi}{20})-1[/mm]
>
> dann noch quadrieren...(und das ist nur eine
> stützstelle!)
>
> gibt es eine etwas schnellere und nicht mit sehr viel
> rechenaufwand verbundene methode diese aufgabe zu lösen?
>
> Ist es eigentlich richtig meine vorgehensweise?
>
Die Tschebyscheff-Polynome sind hier meines Erachtens
nicht zu berechnen. Setze stattdessen in die Rekursionsformel
für die Tschebyscheff-Polynome gleich das Argument ein.
Dann addieren und quadrieren.
Dies dann für jedes Argument.
> Dankeschön im voraus.
Gruss
MathePower
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