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| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass für alle [mm] x\in\IR [/mm] gilt:
[mm] \sin^{2}{\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos{x}}{2}.
[/mm]
b) Bestimmen Sie alle [mm] x\in\IR, [/mm] die die Gleichung (i) [mm] \cos{3x}=4, [/mm] (ii) [mm] \cos{x}+\cos{2x}=0 [/mm] erfüllen. |
a)Als erstes habe ich [mm] \sin{\frac{x}{2}} [/mm] substituiert in [mm] \sin{u} [/mm] mit [mm] u=\frac{x}{2};
[/mm]
Dann mit [mm] \sin^{2}{u}+\cos^{2}{u}=1 [/mm] umgestellt nach
[mm] \sin^{2}{u}=1-\cos^{2}{u} \Rightarrow 1-(\cos{\frac{x}{2}}*\cos{\frac{x}{2}}). [/mm] Eigentlich sollten wir die Additionstheoreme nutzen, aber ich habe an der Stelle den Halbwinkelsatz genutzt der aussagt, dass [mm] \cos{\frac{x}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{x}}{2}}. [/mm] Daraus erhalte ich nach dem Ausklammern [mm] sin^{2}{\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos{x}}{2}. [/mm] Der Weg über die Additionstheoreme, hin zum Halbwinkelsatz ist mir aber noch nicht klar.
b)(i) Hier würde ich einfach nur anmerken, das [mm] \cos{x} [/mm] nur im Wertebereich [-1,1] definiert ist, daher [mm] \cos{3x}\not=4. [/mm]
[mm] x=\emptyset;
[/mm]
(ii)Hier kann ich formal erklären, dass [mm] x=i*\frac{\pi}{2} (i\in\IZ) [/mm] sein muss, da durch die Phasenverlängerung um Faktor 2 zum einen [mm] \cos{x}=\cos{2x}=0 [/mm] und zum anderen bei [mm] \cos{x}=1, \cos{2x}=-1; [/mm] Aber wie beweise ich das mit den Additionstheoremen? Ich hatte schon mehrere Ansätze versucht, dreh mich allerdings immer im Kreis.
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Hallo Beowulf,
![[]](/images/popup.gif) hier hast Du eine umfangreiche Formelsammlung zur Trigonometrie (darin die Additionstheoreme).
Zu Deinen Aufgaben:
> a) Zeigen Sie, dass für alle [mm]x\in\IR[/mm] gilt:
> [mm]\sin^{2}{\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos{x}}{2}.[/mm]
>
> b) Bestimmen Sie alle [mm]x\in\IR,[/mm] die die Gleichung (i)
> [mm]\cos{3x}=4,[/mm] (ii) [mm]\cos{x}+\cos{2x}=0[/mm] erfüllen.
> a)Als erstes habe ich [mm]\sin{\frac{x}{2}}[/mm] substituiert in
> [mm]\sin{u}[/mm] mit [mm]u=\frac{x}{2};[/mm]
> Dann mit [mm]\sin^{2}{u}+\cos^{2}{u}=1[/mm] umgestellt nach
> [mm]\sin^{2}{u}=1-\cos^{2}{u} \Rightarrow 1-(\cos{\frac{x}{2}}*\cos{\frac{x}{2}}).[/mm]
> Eigentlich sollten wir die Additionstheoreme nutzen, aber
> ich habe an der Stelle den Halbwinkelsatz genutzt der
> aussagt, dass
> [mm]\cos{\frac{x}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{x}}{2}}.[/mm] Daraus
> erhalte ich nach dem Ausklammern
> [mm]sin^{2}{\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos{x}}{2}.[/mm] Der Weg über die
> Additionstheoreme, hin zum Halbwinkelsatz ist mir aber noch
> nicht klar.
Ich würde Deinen Weg akzeptieren; auch die Halbwinkelsätze gehören letztlich zu den Additionstheoremen.
Du kannst hier aber auch folgenden Ansatz verwenden:
[mm] \sin^2{\bruch{x}{2}}=\bruch{1-\blue{\cos{\left(\bruch{x}{2}+\bruch{x}{2}\right)}}}{2}
[/mm]
Dann mit dem Additionstheorem für den Cosinus weiter.
> b)(i) Hier würde ich einfach nur anmerken, das [mm]\cos{x}[/mm] nur
> im Wertebereich [-1,1] definiert ist, daher [mm]\cos{3x}\not=4.[/mm]
> [mm]x=\emptyset;[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (ii)Hier kann ich formal erklären, dass [mm]x=i*\frac{\pi}{2} (i\in\IZ)[/mm]
> sein muss, da durch die Phasenverlängerung um Faktor 2
> zum einen [mm]\cos{x}=\cos{2x}=0[/mm] und zum anderen bei [mm]\cos{x}=1, \cos{2x}=-1;[/mm]
Bist Du denn sicher, dass das alle Lösungen sind? Wenn ja, warum?
> Aber wie beweise ich das mit den Additionstheoremen? Ich
> hatte schon mehrere Ansätze versucht, dreh mich allerdings
> immer im Kreis.
Na, auch hier: [mm] \cos{x}+\blue{\cos{(x+x)}}=0
[/mm]
...und weiter mit Additionstheorem für Cosinus. Den auftauchenden Sinus (praktischerweise schon im Quadrat) per trigonometrischem Pythagoras ersetzen, dann [mm] z=\cos{x} [/mm] setzen und die quadratische Gleichung in z lösen. Zum Schluss resubstituieren und [mm] \arccos{} [/mm] anwenden.
Grüße
reverend
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