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| Aufgabe | 1.4 | Es sei [mm]f(x,y)=\bruch{x^2}{2} + x \cdot y[/mm] und [mm]P_0 = (1; 2)[/mm] sowie [mm]P = (1,1; 1,9) [/mm]
i) In welchen Punkten ist f differenzierbar?
ii) Berechnen Sie in [mm]P_0[/mm] das totale Differential von [mm]f[/mm].
iii) Berechnen Sie [mm]f(P_0)[/mm] sowie deren Differenz [mm]f(P) - f(P_0)[/mm].
iv) Berechnen Sie den Wert des totalen Differentials aus ii) für die Zuwächse [mm]dx = 0,1[/mm] und [mm]dy = -0,1[/mm] und vergleichen Sie den Wert mit der Differenz aus iii).
v) Berechnen Sie die Gleichung der Tangentialebene im Punkt [mm](1,2; 2,5)[/mm]. |
Hallo!
Bitte korrigiert meine Lösung, denn ich glaube ich habe da einige Fehler gemacht. Allerdings weiß ich nicht wie es richtig geht...
i) In welchen Punkten ist f differenzierbar?
=> [mm]f'(x,y) = (x+y ; x) \Rightarrow[/mm] auf ganz [mm]\IR[/mm]
ii) Berechnen Sie in [mm]P_0[/mm] das totale Differential von [mm]f[/mm].
=> [mm]Df(x,y) = (x+y; x) Df(1,2) = (3; 1) f(1,2) = 2,5[/mm] [mm]f'(x,y) = 2,5 + (3; 1)\vektor{x-1 \\ y-2} = 3x + y -2,5[/mm]
iii) Berechnen Sie [mm]f(P_0)[/mm] sowie deren Differenz [mm]f(P) - f(P_0)[/mm].
=> [mm]f(P_0) = 2,5 f(P) = \bruch{1,1^2}{2} + 1,1 \cdot 1,9 = 2,614[/mm] [mm]f(P)-f(P_0) = 0,114[/mm]
iv) Berechnen Sie den Wert des totalen Differentials aus ii) für die Zuwächse [mm]dx = 0,1[/mm] und [mm]dy = -0,1[/mm] und vergleichen Sie den Wert mit der Differenz aus iii).
=> [mm]f'(0,1 ; -0,1) = 0,3-0,1-2,5 = -2,3 [/mm] (Dies erscheint mir falsch... Aber wo ist der Fehler?)
v) Berechnen Sie die Gleichung der Tangentialebene im Punkt [mm](1,2; 2,5)[/mm].
(Hier mach ich weiter, wenn ich weiß, dass ich alles andere richtig hab  )
Danke für eure Hilfe!
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Hallo Simon,
> 1.4 | Es sei [mm]f(x,y)=\bruch{x^2}{2} + x \cdot y[/mm] und [mm]P_0 = (1; 2)[/mm]
> sowie [mm]P = (1,1; 1,9)[/mm]
> i) In welchen Punkten ist f
> differenzierbar?
> ii) Berechnen Sie in [mm]P_0[/mm] das totale Differential von [mm]f[/mm].
> iii) Berechnen Sie [mm]f(P_0)[/mm] sowie deren Differenz [mm]f(P) - f(P_0)[/mm].
>
> iv) Berechnen Sie den Wert des totalen Differentials aus
> ii) für die Zuwächse [mm]dx = 0,1[/mm] und [mm]dy = -0,1[/mm] und vergleichen
> Sie den Wert mit der Differenz aus iii).
> v) Berechnen Sie die Gleichung der Tangentialebene im
> Punkt [mm](1,2; 2,5)[/mm].
> Hallo!
> Bitte korrigiert meine Lösung, denn ich glaube ich habe da
> einige Fehler gemacht. Allerdings weiß ich nicht wie es
> richtig geht...
>
> i) In welchen Punkten ist f differenzierbar?
> => [mm]f'(x,y) = (x+y ; x) \Rightarrow[/mm] auf ganz [mm]\IR[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> ii) Berechnen Sie in [mm]P_0[/mm] das totale Differential von [mm]f[/mm].
> => [mm]Df(x,y) = (x+y; x) Df(1,2) = (3; 1) f(1,2) = 2,5[/mm]
> [mm]f'(x,y) = 2,5 + (3; 1)\vektor{x-1 \\ y-2} = 3x + y -2,5[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das totale Differential in [mm] $P_0=(1,2)$ [/mm] ist doch [mm] $df(1,2)=\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) [/mm] \ dx \ + \ [mm] \frac{\partial f}{\partial y}(1,2) [/mm] \ dy$
Also ...
>
> iii) Berechnen Sie [mm]f(P_0)[/mm] sowie deren Differenz [mm]f(P) - f(P_0)[/mm].
>
> => [mm] $f(P_0) [/mm] = 2,5$ $f(P) = [mm] \bruch{1,1^2}{2} [/mm] + 1,1 [mm] \cdot [/mm] 1,9 = 2,614$
Da erhalte ich $2,695$
> [mm]f(P)-f(P_0) = 0,114[/mm]
Folgefehler
> Danke für eure Hilfe!
LG
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
so ganz klar wird mir die Sache noch immer nicht:
> > ii) Berechnen Sie in [mm]P_0[/mm] das totale Differential von [mm]f[/mm].
> > => [mm]Df(x,y) = (x+y; x) Df(1,2) = (3; 1) f(1,2) = 2,5[/mm]
> > [mm]f'(x,y) = 2,5 + (3; 1)\vektor{x-1 \\ y-2} = 3x + y -2,5[/mm]
>
>
> Das totale Differential in [mm]P_0=(1,2)[/mm] ist doch
> [mm]df(1,2)=\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) \ dx \ + \ \frac{\partial f}{\partial y}(1,2) \ dy[/mm]
Heißt das, dass mein Fehler eigentlich das +2,5 war und somit der richtige Ausdruck so aussehen sollte:
[mm]f'(x,y) = \vektor{df_x (1;2) \ \ df_y (1;2) } \vektor{x - 1 \\ y-2} = \vektor{3\ 1} \vektor{x-1 \\ y-2} = 3x + y -5[/mm] ?
Denn das ist ja das selbe in Vektor-schreibweise, wenn ich das richtig sehe.
Außerdem verstehe ich nicht so genau die Schreibweise [mm]\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) \ dx[/mm]
Danke für die Hilfe!
(Edit: schreibweise meiner Vektoren...)
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Hallo nochmal und frohes Fest
> Hallo schachuzipus,
> so ganz klar wird mir die Sache noch immer nicht:
>
> > > ii) Berechnen Sie in [mm]P_0[/mm] das totale Differential von [mm]f[/mm].
> > > => [mm]Df(x,y) = (x+y; x) Df(1,2) = (3; 1) f(1,2) = 2,5[/mm]
> > > [mm]f'(x,y) = 2,5 + (3; 1)\vektor{x-1 \\ y-2} = 3x + y -2,5[/mm]
> >
> >
> > Das totale Differential in [mm]P_0=(1,2)[/mm] ist doch
> > [mm]df(1,2)=\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) \ dx \ + \ \frac{\partial f}{\partial y}(1,2) \ dy[/mm]
>
> Heißt das, dass mein Fehler eigentlich das +2,5 war und
> somit der richtige Ausdruck so aussehen sollte:
> [mm]f'(x,y) = \vektor{df_x (1;2) \ \ df_y (1;2) } \vektor{x - 1 \\ y-2} = \vektor{3\ 1} \vektor{x-1 \\ y-2} = 3x + y -5[/mm]
> ?
> Denn das ist ja das selbe in Vektor-schreibweise, wenn ich
> das richtig sehe.
Hmm, es müssen doch im totalen Differential in jedem Summanden $dx, dy,...$ vorkommen.
Schaue dir das doch bitte ![[]](/images/popup.gif) hier nochmal an. Da steht insbesondere die Formel für das totale Differential einer Funktion in 2 Variablen ausgeschrieben.
[mm] $df=\frac{\partial f}{\partial x} [/mm] \ dx \ \ + \ \ [mm] \frac{\partial f}{\partial y} [/mm] \ [mm] dy=f_x [/mm] \ dx \ \ + \ \ [mm] f_y [/mm] \ dy$
Und speziell im Punkt [mm] $P_0=(1,2)$ [/mm] halt [mm] $df(1,2)=\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) [/mm] \ dx \ \ + \ \ [mm] \frac{\partial f}{\partial y}(1,2) [/mm] \ [mm] dy=f_x(1,2) [/mm] \ dx \ \ + \ \ [mm] f_y(1,2) [/mm] \ dy$
Du musst also nur für den ersten Summanden die partielle Ableitung nach x im Punkt (1,2) berechnen und ein "dx" dranklatschen, für den zweiten Summanden entsprechend die partielle Ableitung von f nach y im Punkt (1,2) und "dy" dranschreiben
>
> Außerdem verstehe ich nicht so genau die Schreibweise
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) \ dx[/mm]
Es bezeichnet [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)$ [/mm] die partielle Ableitung von f nach der Variable $x$ an der Stelle (im Punkt) [mm] $(x_0,y_0)$
[/mm]
Analog [mm] $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=f_y(1,2)$ [/mm] die partielle Ableitung von f nach $y$ im Punkte [mm] $P_0=(1,2)$
[/mm]
>
> Danke für die Hilfe!
>
> (Edit: schreibweise meiner Vektoren...)
LG
schachuzipus
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Hallo froopkind,
> 1.4 | Es sei [mm]f(x,y)=\bruch{x^2}{2} + x \cdot y[/mm] und [mm]P_0 = (1; 2)[/mm]
> sowie [mm]P = (1,1; 1,9)[/mm]
> i) In welchen Punkten ist f
> differenzierbar?
> ii) Berechnen Sie in [mm]P_0[/mm] das totale Differential von [mm]f[/mm].
> iii) Berechnen Sie [mm]f(P_0)[/mm] sowie deren Differenz [mm]f(P) - f(P_0)[/mm].
>
> iv) Berechnen Sie den Wert des totalen Differentials aus
> ii) für die Zuwächse [mm]dx = 0,1[/mm] und [mm]dy = -0,1[/mm] und vergleichen
> Sie den Wert mit der Differenz aus iii).
> v) Berechnen Sie die Gleichung der Tangentialebene im
> Punkt [mm](1,2; 2,5)[/mm].
> Hallo!
> Bitte korrigiert meine Lösung, denn ich glaube ich habe da
> einige Fehler gemacht. Allerdings weiß ich nicht wie es
> richtig geht...
>
> i) In welchen Punkten ist f differenzierbar?
> => [mm]f'(x,y) = (x+y ; x) \Rightarrow[/mm] auf ganz [mm]\IR[/mm]
>
> ii) Berechnen Sie in [mm]P_0[/mm] das totale Differential von [mm]f[/mm].
> => [mm]Df(x,y) = (x+y; x) Df(1,2) = (3; 1) f(1,2) = 2,5[/mm]
> [mm]f'(x,y) = 2,5 + (3; 1)\vektor{x-1 \\ y-2} = 3x + y -2,5[/mm]
>
> iii) Berechnen Sie [mm]f(P_0)[/mm] sowie deren Differenz [mm]f(P) - f(P_0)[/mm].
>
> => [mm]f(P_0) = 2,5 f(P) = \bruch{1,1^2}{2} + 1,1 \cdot 1,9 = 2,614[/mm]
> [mm]f(P)-f(P_0) = 0,114[/mm]
>
> iv) Berechnen Sie den Wert des totalen Differentials aus
> ii) für die Zuwächse [mm]dx = 0,1[/mm] und [mm]dy = -0,1[/mm] und vergleichen
> Sie den Wert mit der Differenz aus iii).
> => [mm]f'(0,1 ; -0,1) = 0,3-0,1-2,5 = -2,3[/mm] (Dies erscheint mir
> falsch... Aber wo ist der Fehler?)
Hier liegt der Fehler:
[mm]f'(0,1 ; -0,1) = 0,3-0,1\red{-2,5}[/mm]
>
> v) Berechnen Sie die Gleichung der Tangentialebene im
> Punkt [mm](1,2; 2,5)[/mm].
> (Hier mach ich weiter, wenn ich weiß,
> dass ich alles andere richtig hab )
>
>
> Danke für eure Hilfe!
Gruß
MathePower
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