totales Differential < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ist die Differentialform
g(x,y) = x*sin(y) dx + [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] cos(y) dy
ein vollständiges Differential |
Mit sin und cos steht ich echt auf'm Kriegsfuss...
kann ich das mit dem Satz von Schwarz machen? Also die Funktion g(x,y) = x*sin(y) + [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] cos(y)
erst nach x und dann nach y differenzieren und dann nochmal nach y und dann nach x??
Aber was kommt da für ein Ergebnis raus??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Ist die Differentialform
> g(x,y) = [mm]x\siny[/mm] dx + [mm]\bruch{1}{2}x^2 \cosy[/mm] dy
> ein vollständiges Differential
> Mit sin und cos steht ich echt auf'm Kriegsfuss...
Hallo,
das glaube ich Dir gern, nur - ich sehe hier weder sin noch cos...
> kann ich das mit dem Satz von Schwarz machen?
Ja, aber die von Dir vorgeschlagene Vorgehensweise kann ich nicht nachvollziehen.
Weißt Du denn, was ein vollständiges Differential ist?
Wenn g(x,y) ein vollständiges Differential wäre, gäbe es eine Funktion f so, daß
[mm] g(x,y)=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy.
[/mm]
Was sagt der Satz von Schwarz, und wie kannst Du ihn hier nun anwenden?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
ups... sry habe gar nicht den falschen Aufgabentext bemerkt.
Hab ihn jetzt korrigiert.
Klar weiß ich was einen totales Differential ist.
Mein problem ist aber, dass ich zwar weiß wie man aus einer Funktion ein totales Differential gewinnt, leider komm ich aber bei dem Umkehrschluss ins stolpern; also wie ich prüfen kann ob ein totales differential vorliegt.
DAnke schonmal für eure Hilfe!
|
|
|
| |
|
> Klar weiß ich was einen totales Differential ist.
> Mein problem ist aber, dass ich zwar weiß wie man aus
> einer Funktion ein totales Differential gewinnt, leider
> komm ich aber bei dem Umkehrschluss ins stolpern; also wie
> ich prüfen kann ob ein totales differential vorliegt.
Du hast doch selbst diesen Satz von Schwarz ins Spiel gebracht. Was sagt der denn? Und welche Zutaten des Satzes von Schwarz halten wir beim totalen Differential in der Hand?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:11 Do 26.07.2007 | | Autor: | SEcki |
> Weißt Du denn, was ein vollständiges Differential ist?
> Wenn g(x,y) ein vollständiges Differential wäre, gäbe es
> eine Funktion f so, daß
>
> [mm]g(x,y)=f_y(x,y)dx+f_x(x,y)dy.[/mm]
Huch, sicher? Ich dachte dann gäbe es f mit [m]df=g[/m], also muss im ersten Summand nach x, im zweiten nach y abgelitten werden ...
> Was sagt der Satz von Schwarz, und wie kannst Du ihn hier
> nun anwenden?
Wieso Satz von Schwarz? Der ist doch nebensächlich - Poincare-Lemma ist der richtige Weg! Ergo: gilt [m]dg=0[/m] dann sit die Form lokal exakt, also gibt es auf konvexen Mengen eine Form h mit [m]dh=g[/m].
Hier reduziert es sich zu: [m]g=a*dx+b*dy[/m] dann muss [m]a_y=b_x[/m] gelten. Fertig.
SEcki
|
|
|
| |
|
Der Satz von Schwarz besagt doch nur die vollständige Wegunabhängigkeit des Differentials. Ergo wenn ein Differential wegunabhängig ist, ist es vollständig.
Das kann man zwar zum einen über ein Wegintegral zeigen, was mir aber zu umständlich ist und in der Klausur ohne Taschenrechner und Integrationstabllen wahrscheinlich nicht möglich, habe ich gedacht es geht mit dem Satz von Schwarz, der da lautet:
z= f(x;y)
[mm] z_x_y [/mm] = [mm] z_y_x
[/mm]
wenn das gegeben ist müsste doch ein Differential wegunabhängig sein und somit auch vollständig.
Aber wie mache ich das bei meiner Funktion?
|
|
|
| |
|
>... habe ich gedacht es geht mit dem Satz von Schwarz,
> der da lautet:
> z= f(x;y)
> [mm]z_x_y[/mm] = [mm]z_y_x[/mm]
Aha. Genau das wollte ich wissen.
Der für uns hier wesentliche Teil des Stzes ist, daß bei 2x stetig diffbaren Funktionen die Reihenfolge der partiellen Differentiation keine Rolle spielt. Das ist das, was Du oben schreibst.
>
> Aber wie mache ich das bei meiner Funktion?
Es geht um die Frage, ob g(x,y) = x*sin(y) dx + $ [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] $ cos(y) dy ein totales Differential einer Funktion f ist.
Wenn das der Fall wäre, wäre - wie ich im ersten Post geschrieben hatte -
[mm] g(x,y)=f_x(x,y)dx +f_y(x,y)dy.
[/mm]
Es wäre in Deinem Fall also
[mm] f_x(x,y)=x*sin(y) [/mm] und [mm] f_y(x,y)=\bruch{1}{2}x^2 [/mm] $ cos(y) .
Und weiter???
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Das bei beiden Fällen [mm] x*\cosy [/mm] heraus kommt und somit das Differential vollständig sein müsste??
Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Do 26.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
was kommt denn für [mm] f_{xy} [/mm] und [mm] f_{yx} [/mm] raus?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Also ich bekomme beide Male x* [mm] \cos(y)
[/mm]
ist das richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Do 26.07.2007 | | Autor: | SEcki |
> ist das richtig?
Ja.
SEcki
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für euere Hilfe, ihr seit echt Spitze!
|
|
|
|
