totaler Wirkungsquerschnitt < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Teilchen streue das Potential
[mm]U(r)=\left\{\begin{matrix}
\infty & r \le a \\
0 & r > a
\end{matrix}\right
\end{matrix}\right [/mm]
Berechnen Sie den differentiellen Wirkungsquerschnit und transformieren sie diesen in das Laborsystem |
Hiho,
ich habe diese Frage noc hin keinem anderen Forum gestellt.
Die Aufgabenstellung ist jetzt etwas frei nach mir. Aber sie beschreibt ja prinzipiell den Stoß zweier harter Kugeln. Der differentielle Wirkungsquerschnitt ergibt ja nun zunächst [mm]\bruch{1}{4} a^{2}[/mm].
Die Transformation ins LS erfolgt bekanntlich nach der Formel:
[mm] \sigma ( \theta ) = \sigma^{'} ( \theta^{'} ) \bruch{sin(\theta^{'})}{sin(\theta)} \bruch{d \theta^{'}}{d \theta}[/mm] (1)
mit dem Zusammenhang
[mm] tan( \theta ) = \bruch{sin( \theta ^{'})}{sin( \theta) + \bruch{m_{1}}{m_{2}}[/mm] (2)
(2) führt mit [mm]m_{1} = m_{2}[/mm] zunächst auf:
[mm]\theta^{'} =2 \theta[/mm]
das eingesetzt in (1) ergibt dann bei mir:
[mm]\sigma ( \theta ) = \bruch{1}{4} a^{2} \bruch{1}{cos( \theta )}[/mm]
das sieht ja schon mal ganz gut so weit aus. Ich kann mir zwar diese Abhängigkeit vom Winkel [mm] \theta [/mm] nicht so ganz vorstellen, aber das hat ja nicht unbedingt was zu bedeuten. Als ich jetzt aber mal spaßenhalber für mich den totalen Wirkungsquerschnitt berechnen wollte bin ich auf folgendes gekommen:
[mm]\sigma _{T} = 2 \pi \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \sigma(\theta) sin(\theta)\, d \theta = 2 \pi \bruch{1}{4} a^{2} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} tan(\theta)\, d \theta = \bruch{1}{2} \pi a^{2} \left[ -ln(cos(\theta)) \right]_{0}^{\bruch{\pi}{2}}[/mm]
und das ergibt nie und nimmer die erwarteten [mm] \pi a^{2} [/mm]... mal ab davon, dass man die obere Integrationsgrenze schon gar nicht mehr einsetzen darf.
Hab ich da irgendwas verkehrt gemacht?
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Hab eben noch ein wenig rumgerechnet und meinen Fehler selbst entdeckt. ich habe falsch umgeformt als ich den differentiellen Wirkungsquerschnitt im LS berechnet habe. Eigentlich ergibt er sich zu:
[mm]\sigma (\theta) = a^{2} cos(\theta) [/mm]
damit kommen dann auch die erwarteten [mm] \pi a^{2} [/mm] raus.
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