tot.Differenzierbarkeit Beweis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
in einer Hausaufgabe sollen wir beweisen, ob [mm]f(x,y)=\frac{x^3-3xy^2}{x^2+y^2}[/mm] fuer [mm](x,y)\neq (0,0)[/mm] und [mm]f(x,y)=0[/mm] fuer [mm](x,y)=(0,0)[/mm] in (0,0) total differenzierbar ist. Dies koennte man einerseits machen, indem man alle partiellen Ableitungen bestimmt und zeigt dass diese in (0,0) stetig sind. Leider sind sie das aber nicht. Also muss man sich auf einen anderen Satz berufen, den wir hatten: Dieser besagt, f ist in [mm]x_0[/mm] genau dann total differenzierbar, wenn
(i) alle Richtungsableitungen von f bei [mm]x_0[/mm] existieren.
(ii) Die Abbildung [mm]u\mapsto \partial_u f(x_o)[/mm] linear ist.
(iii) Die Richtungsdifferenzierbarkeit von f bei [mm]x_0[/mm] gleichmaessig ist.
i und iii zu zeigen ist kein Problem. Bei ii jedoch muss man im Prinzip doch zeigen, dass [mm]\partial_{\lambda\cdot u}f(x_o)=\lambda\cdot \partial_u f(x_0)[/mm] und [mm]\partial_{u+v}f(x_0)=\partial_u f(x_0)+\partial_v f(x_0)[/mm] ist, wobei u und v die Richtungsvektoren sind, also die Richtungen nach denen differenziert wird.
Den Teil mit [mm]\lambda[/mm] nachzuweisen mag oft noch gutgehen, aber den Teil mit u und v versteh ich nicht ganz. Denn sobald man eine Potenz (wie in dem Beispiel) dazubekommt, produziert diese ja unangenehme mischterme aus u und v. Wodurch der u und v Teil der Linearitaet ja nur in ganz wenigen Faellen beweisbar waere, wodurch nur ein ganz kleiner Teil von Funktionen total differenzierbar waere (Diese Aufgabe also waere in (0,0) nicht total dbar, da mit [mm]u:=(a,b)[/mm] folgt, [mm]\partial_u f(0,0)=\frac{a^3-3ab^2}{a^2+b^2}[/mm] und schon hat man besagt mischterme, wodurch man der Teil mit u+v nicht funktionieren wuerde)
Habe ich etwas falsch verstanden, oder ist die totale Differenzierbarkeit einfach ein sehr seltenes Gut?
danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 So 15.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Christian!
Wieso gehst du hier denn nicht direkt über die Definition der totalen Differenzierbarkeit?
Diese lautet wie folgt:
Sei $U [mm] \subset \IR^n$ [/mm] eine offenen Menge und $f:U [mm] \to \IR^m$ [/mm] eien Abblidung. $f$ heißt im Punkt $x [mm] \in [/mm] U$ total differenzierbar, falls es seine lineare Abbildung [mm] $A:\IR^n \to \IR^m$ [/mm] gibt, so dass in einer Umgebung von $x$ gilt:
[mm] $f(x+\xi) [/mm] = f(x) + [mm] A\xi [/mm] + [mm] \varphi(\xi)$,
[/mm]
wobei [mm] $\varphi$ [/mm] eine in einer Umgebung von Null definierte Funktion mit Werten in [mm] $\IR^m$ [/mm] ist mit
[mm] $\lim\limits_{\xi \to 0} \frac{\varphi(\xi)}{\Vert \xi \Vert} [/mm] =0$.
Man kann zeigen, dass in der Matrixdarstellung von $A$ bezüglich der kanonischen Basis genau die partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen an der Stelle $x$ stecken.
Also musst du nur zeigen:
[mm] $\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y) - f(0,0) - \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) \cdot x - \frac{\partial f}{\partiall y}(0,0) \cdot y}{\sqrt{x^2+y^2}} [/mm] = 0$.
Ich habe es nicht probiert, aber klappt das denn nicht? Willst du es nicht mal so direkt versuchen anstatt irgendwelche unhandlichen Kriterien anzuwenden?
Viele Grüße
Stefan
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Hallo,
bei uns lautete die Def. ein wenig anders, wenn auch Inhaltlich das gleiche, wobei man hier nicht diesen (manchmal) etwas unhandlichen limes hat:
f heisst bei [mm]x_0[/mm] total differenzierbar, genau dann wenn
[mm]\forall \varepsilon >0 \exists \delta >0 \forall x\in U, ||x-x_0||<\delta: ||f(x)-f(x_0)-A\cdot(x-x_0)||\leq \varepsilon\cdot ||x-x_0||[/mm]
Wobei U der Definitionsbereich der Funktion ist, und A (laut spaeterem Beweis) nur die Jacobimatrix ist.
Also habe ich es nun ueber diese Definition versucht, ich wuerde mich freuen wenn du mir sagen kannst ob das so korrekt ist.
Zunaechst bestimmen der Jacobimatrix:
[mm]\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}=\lim_{t\to 0}\frac{f((0,0)+t(1,0))-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{1}{t}\frac{t^3}{t^2}=1[/mm] und
[mm]\frac{\partial f(0,0)}{\partial y}=\lim_{t\to 0}\frac{f((0,0)+t(0,1))-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{1}{t}\frac{0}{t^2}=0[/mm]
Da alle Normen gegeneinander abgeschaetzt werden koennen, nehme ich im Beweis einmal die Maximumsnorm und einmal die Einsnorm (Das schreibe ich dann an den Stellen extra dran). Also folgt aus [mm]||(x,y)-(0,0)||_\infty<\delta[/mm]: [mm]x,y<\delta[/mm]. Sei nun zu [mm]\varepsilon >0[/mm] beliebig ein [mm]\delta=\frac{\varepsilon}{4}||x-x_0||[/mm] gewaehlt. Dann gilt:
[mm]
||f(x,y)-f(0,0)-A((x,y)-(0,0))||=||f(x,y)-(1\ \ 0)(x,y)||=||\frac{x^3-3xy^2}{x^2+y^2}-x||=||\frac{x^3-3xy^2-x^3-xy^2}{x^2+y^2}||
[/mm]
[mm] =||\frac{-4xy^2}{x^2+y^2}||_1\leq |\frac{4xy^2}{y^2} |=|4x|< 4\delta=4\frac{\varepsilon}{4}||x-x_0||=\varepsilon ||x-x_0||
[/mm]
Also ist es doch total differenzierbar in (0,0).
Vielen dank schonmal.
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