topologischer Raum Zusammenhge < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | man zeige:
a) Ist f:X [mm] \to [/mm] Y eine stetige Abbildung topolgoscher Räume mit X zusammenhängend und f(X) diskret, so ist f konstant.
b) Für nichtleere offene und zusammenhängende Mengen U,V eines topolgischen Raumes ist U [mm] \cup [/mm] V genau dann zusammenhängend, wenn U [mm] \cap [/mm] V [mm] \not= \emptyset [/mm] ist.
c) Sind U und V Stammgebiete in [mm] \IC [/mm] , so dass U [mm] \cap [/mm] V zusammenhängend und nicht leer ist, so ist auch U [mm] \cup [/mm] V ein Stammgebiet. |
ich weiß nicht wie ich das zeigen soll, habe auch keinen ansatz...mit welchen definitionen muss ich arbeiten??? wäre dankbar für tipps...lg :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Do 17.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo blinktea!
Schau dir mal die Definition von `zusammenhaengend' genau an.
> man zeige:
> a) Ist f:X [mm]\to[/mm] Y eine stetige Abbildung topolgoscher Räume
> mit X zusammenhängend und f(X) diskret, so ist f konstant.
Sei $y [mm] \in [/mm] f(X)$. Dann ist [mm] $\{ y \}$ [/mm] und $f(X) [mm] \subseteq \{ y \}$ [/mm] in $f(X)$ sowohl offen als auch abgeschlossen (da $f(X)$ diskret ist). Da $f$ stetig ist, sind somit die Urbilder davon jeweils auch offen und abgeschlossen. Jetzt schau dir mal die Definition von `zusammenhaengend' an. Was folgt daraus fuer [mm] $f^{-1}(f(X) \setminus \{ y \})$? [/mm] (Da [mm] $f^{-1}(\{ y \})$ [/mm] auf jeden Fall nicht leer ist.)
> b) Für nichtleere offene und zusammenhängende Mengen U,V
> eines topolgischen Raumes ist U [mm]\cup[/mm] V genau dann
> zusammenhängend, wenn U [mm]\cap[/mm] V [mm]\not= \emptyset[/mm] ist.
Wenn $U [mm] \cap [/mm] V = [mm] \emptyset$ [/mm] ist, so sind $U$ und $V$ offene und abgeschlossene Teilmengen von $U [mm] \cup [/mm] V$. Damit kann $U [mm] \cup [/mm] V$ nicht zusammenhaengend sein.
Ist $U [mm] \cup [/mm] V$ nicht zusammenhaengend, so gibt es zwei nichtleere Teilmengen [mm] $A_1, A_2 \subseteq [/mm] U [mm] \cup [/mm] V$ so, dass [mm] $A_1, A_2$ [/mm] offen sind, [mm] $A_1 \cap A_2 [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] ist und dass [mm] $A_1 \cup A_2 [/mm] = U [mm] \cup [/mm] V$ ist. Setze jetzt mal [mm] $A_{11} [/mm] := [mm] A_1 \cap [/mm] U$, [mm] $A_{12} [/mm] := [mm] A_2 \cap [/mm] U$, [mm] $A_{21} [/mm] := [mm] A_1 \cap [/mm] V$, [mm] $A_{22} [/mm] := [mm] A_2 \cap [/mm] V$. Was fuer Eigenschaften gelten fuer [mm] $A_{11}, A_{12}$ [/mm] in $U$? Und was fuer welche fuer [mm] $A_{21}, A_{22}$ [/mm] in $V$? Was folgt mit dem Zusammenhang von $U$ und $V$? Und was folgt dann schliesslich fuer [mm] $A_1, A_2$ [/mm] und fuer $U [mm] \cup [/mm] V$ bzw. $U [mm] \cap [/mm] V$?
> c) Sind U und V Stammgebiete in [mm]\IC[/mm] , so dass U [mm]\cap[/mm] V
> zusammenhängend und nicht leer ist, so ist auch U [mm]\cup[/mm] V
> ein Stammgebiet.
Ich hab den Ausdruck `Stammgebiet' noch nie gehoert...
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 19.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
