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| Aufgabe | Seien [mm] $(Y,\tau_Y), (Z,\tau_Z)$ [/mm] topolog. Räume.
a) Bestimme alle stetigen Abbildungen [mm] $f:Y\to [/mm] Z$, wenn [mm] $\tau_Z=\{\emptyset,Z\}$ [/mm] ist.
b) Bestimme alle stetigen Abbildungen [mm] $f:Y\to [/mm] Z$, wenn [mm] $\tau_Y=\mathcal{P}(Y)$ [/mm] ist. |
Hallo an alle Topologiker,
leider weiß ich gar nicht, wie ich ansetzen soll.
Wie hilft mir die Tatsache, dass die Stetigkeit äquivalent dazu ist, dass die Urbilder offener (abgeschlossener) Mengen offen (abgeschlossen) sind?
Ich meine, dass es konstante Abbildungen in jedem Falle tun sollten, aber was ist mit nicht-konstanten ... ?
Ich wäre für einen Ruck in die richtige Richtung dankbar.
Besten Dank vorab!
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:50 Di 20.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm](Y,\tau_Y), (Z,\tau_Z)[/mm] topolog. Räume.
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> a) Bestimme alle stetigen Abbildungen [mm]f:Y\to Z[/mm], wenn
> [mm]\tau_Z=\{\emptyset,Z\}[/mm] ist.
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> b) Bestimme alle stetigen Abbildungen [mm]f:Y\to Z[/mm], wenn
> [mm]\tau_Y=\mathcal{P}(Y)[/mm] ist.
> Hallo an alle Topologiker,
>
> leider weiß ich gar nicht, wie ich ansetzen soll.
>
> Wie hilft mir die Tatsache, dass die Stetigkeit äquivalent
> dazu ist, dass die Urbilder offener (abgeschlossener)
> Mengen offen (abgeschlossen) sind?
Ja das hilft.
Zu a) Jede Abb. $ [mm] f:Y\to [/mm] Z $ ist stetig , wenn $ [mm] \tau_Z=\{\emptyset,Z\} [/mm] $
Denn, ist G [mm] \tau [/mm] -offen in Z, so ist G =Z oder G = [mm] \emptyset. [/mm] Jetzt bist Du dran mit dem Urbild ....
Zu b) Jede Abb. $ [mm] f:Y\to [/mm] Z $ ist stetig , wenn $ [mm] \tau_Y=\mathcal{P}(Y) [/mm] $ ist.
Siehst Du das ?
FRED
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> Ich meine, dass es konstante Abbildungen in jedem Falle tun
> sollten, aber was ist mit nicht-konstanten ... ?
>
> Ich wäre für einen Ruck in die richtige Richtung
> dankbar.
>
>
> Besten Dank vorab!
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:53 Di 20.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Zu b) Jede Abb. [mm]f:Y\to Z[/mm] ist stetig , wenn
> [mm]\tau_Y=\mathcal{P}(Y)[/mm] ist.
Davon kann man aber nicht ausgehen. Man kann die Abbildungen hübsch anders charakterisieren.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:01 Di 20.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Zu b) Jede Abb. [mm]f:Y\to Z[/mm] ist stetig , wenn
> > [mm]\tau_Y=\mathcal{P}(Y)[/mm] ist.
>
> Davon kann man aber nicht ausgehen. Man kann die
> Abbildungen hübsch anders charakterisieren.
>
> SEcki
Sei [mm]f:Y\to Z[/mm] bel. und G offen in Z. Dann ist [mm] f^{-1}(G) \in \mathcal{P}(Y), [/mm] also offen in Y.
Was ist daran falsch ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:06 Di 20.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> > > Zu b) Jede Abb. [mm]f:Y\to Z[/mm] ist stetig , wenn
> > > [mm]\tau_Y=\mathcal{P}(Y)[/mm] ist.
> >
> > Davon kann man aber nicht ausgehen. Man kann die
> > Abbildungen hübsch anders charakterisieren.
> >
> > SEcki
>
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> Sei [mm]f:Y\to Z[/mm] bel. und G offen in Z. Dann ist [mm]f^{-1}(G) \in \mathcal{P}(Y),[/mm]
> also offen in Y.
>
> Was ist daran falsch ?
Nichts.
Ich hatte Y mit Z vertauscht - also gedacht, wir [mm]\tau_Z=\mathcal{P}(Z)[/mm] gegeben und du setzt die Topologie für Y vorraus ... ist noch früh. ;) Dann ist an der Aufgabe ja gar nichts dran :/
SEcki
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Hallo Fred und besten Dank einstweilen,
> > Seien [mm](Y,\tau_Y), (Z,\tau_Z)[/mm] topolog. Räume.
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> > a) Bestimme alle stetigen Abbildungen [mm]f:Y\to Z[/mm], wenn
> > [mm]\tau_Z=\{\emptyset,Z\}[/mm] ist.
> >
> > b) Bestimme alle stetigen Abbildungen [mm]f:Y\to Z[/mm], wenn
> > [mm]\tau_Y=\mathcal{P}(Y)[/mm] ist.
> > Hallo an alle Topologiker,
> >
> > leider weiß ich gar nicht, wie ich ansetzen soll.
> >
> > Wie hilft mir die Tatsache, dass die Stetigkeit äquivalent
> > dazu ist, dass die Urbilder offener (abgeschlossener)
> > Mengen offen (abgeschlossen) sind?
>
> Ja das hilft.
>
> Zu a) Jede Abb. [mm]f:Y\to Z[/mm] ist stetig , wenn
> [mm]\tau_Z=\{\emptyset,Z\}[/mm]
>
> Denn, ist G [mm]\tau[/mm] -offen in Z, so ist G =Z oder G = [mm]\emptyset.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist klar!
> Jetzt bist Du dran mit dem Urbild ....
Nun, leider sehe ich nicht, wie [mm] $f^{-1}(\emptyset)$ [/mm] und [mm] $f^{-1}(Z)$ [/mm] aussehen (müssen).
Wieso sollten das bzgl. [mm] $\tau_Y$ [/mm] offene Mengen sein?
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> Zu b) Jede Abb. [mm]f:Y\to Z[/mm] ist stetig , wenn
> [mm]\tau_Y=\mathcal{P}(Y)[/mm] ist.
>
> Siehst Du das ?
Ja, ich nehme mir eine bel. offene Menge [mm] $Z_0\subset [/mm] Z$ her, dann ist deren Urbild ja auf jeden Fall [mm] $\subset [/mm] Y$, also [mm] $\tau_Y$-offen.
[/mm]
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> FRED
> >
> > Ich meine, dass es konstante Abbildungen in jedem Falle tun
> > sollten, aber was ist mit nicht-konstanten ... ?
> >
> > Ich wäre für einen Ruck in die richtige Richtung
> > dankbar.
> >
> >
> > Besten Dank vorab!
> >
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Di 20.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred und besten Dank einstweilen,
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> > > Seien [mm](Y,\tau_Y), (Z,\tau_Z)[/mm] topolog. Räume.
> > >
> > > a) Bestimme alle stetigen Abbildungen [mm]f:Y\to Z[/mm], wenn
> > > [mm]\tau_Z=\{\emptyset,Z\}[/mm] ist.
> > >
> > > b) Bestimme alle stetigen Abbildungen [mm]f:Y\to Z[/mm], wenn
> > > [mm]\tau_Y=\mathcal{P}(Y)[/mm] ist.
> > > Hallo an alle Topologiker,
> > >
> > > leider weiß ich gar nicht, wie ich ansetzen soll.
> > >
> > > Wie hilft mir die Tatsache, dass die Stetigkeit äquivalent
> > > dazu ist, dass die Urbilder offener (abgeschlossener)
> > > Mengen offen (abgeschlossen) sind?
> >
> > Ja das hilft.
> >
> > Zu a) Jede Abb. [mm]f:Y\to Z[/mm] ist stetig , wenn
> > [mm]\tau_Z=\{\emptyset,Z\}[/mm]
> >
> > Denn, ist G [mm]\tau[/mm] -offen in Z, so ist G =Z oder G =
> [mm]\emptyset.[/mm]
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> Das ist klar!
>
> > Jetzt bist Du dran mit dem Urbild ....
>
> Nun, leider sehe ich nicht, wie [mm]f^{-1}(\emptyset)[/mm] und
> [mm]f^{-1}(Z)[/mm] aussehen (müssen).
[mm] $f^{-1}(\emptyset)= \{y \in Y: f(y) \in \emptyset \}= \emptyset$
[/mm]
[mm] $f^{-1}(Z)= \{y \in Y: f(y) \in Z \}= [/mm] Y$
FRED
>
> Wieso sollten das bzgl. [mm]\tau_Y[/mm] offene Mengen sein?
>
> >
> >
> > Zu b) Jede Abb. [mm]f:Y\to Z[/mm] ist stetig , wenn
> > [mm]\tau_Y=\mathcal{P}(Y)[/mm] ist.
> >
> > Siehst Du das ?
>
> Ja, ich nehme mir eine bel. offene Menge [mm]Z_0\subset Z[/mm] her,
> dann ist deren Urbild ja auf jeden Fall [mm]\subset Y[/mm], also
> [mm]\tau_Y[/mm]-offen.
>
> >
> >
> > FRED
> > >
> > > Ich meine, dass es konstante Abbildungen in jedem Falle tun
> > > sollten, aber was ist mit nicht-konstanten ... ?
> > >
> > > Ich wäre für einen Ruck in die richtige Richtung
> > > dankbar.
> > >
> > >
> > > Besten Dank vorab!
> > >
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
> > Nun, leider sehe ich nicht, wie [mm]f^{-1}(\emptyset)[/mm] und
> > [mm]f^{-1}(Z)[/mm] aussehen (müssen).
>
>
> [mm]f^{-1}(\emptyset)= \{y \in Y: f(y) \in \emptyset \}= \emptyset[/mm]
>
> [mm]f^{-1}(Z)= \{y \in Y: f(y) \in Z \}= Y[/mm]
>
> FRED
Ja, daran dachte ich auch, habe mich aber im ersten Falle von der fixen Idee verwirren lassen, dass das Urbild der leeren Mengen unter einer nicht-surjektiven Abbildung nicht die leere Menge sein könnte/müsste ...
So ist's wahrlich trivial ...
Danke nochmal!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:56 Di 20.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Hallo an alle Topologiker
... Topologen.
> Ich meine, dass es konstante Abbildungen in jedem Falle tun
> sollten, aber was ist mit nicht-konstanten ... ?
Die a) ist trivial und beantwortet.
Zur b): das Urbild eines Punktes [m]z\in Z[/m] ist offen und abgeschlossen. Dh f ist konstant auf welchen Teilmengen?
EDIT: ich habe mich zur b) verlesen, und die Frage für [mm]\tau_Z=\mathcal{P}(Z)[/mm] beantwortet.
SEcki
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