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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Sa 29.11.2008 | | Autor: | zlatko |
| Aufgabe | untersuchen sie die folgen auf konvergenz und bestimmen sie gegebenfalls den grenzwert!
[mm] a_n [/mm] = [mm] (-1)^{\bruch{1}{2}n(n+1)}
[/mm]
[mm] b_n [/mm] = [mm] \vektor{n \\ 2}\bruch{1}{n^2}
[/mm]
[mm] f_n [/mm] = [mm] \produkt_{k=2}^{n}(1-\bruch{1}{k^2}
[/mm]
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hi
ich würde euch gerne nur bitten mir paar tips zur lösung geben!
und vll eine web adresse wo die reihen und folgen bissle erklärt werden denn die check ich atm nicht gerade gut
DANKE
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Hallo Zlatko,
> untersuchen sie die folgen auf konvergenz und bestimmen sie
> gegebenfalls den grenzwert!
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm](-1)^{\bruch{1}{2}n(n+1)}[/mm]
>
> [mm]b_n[/mm] = [mm]\vektor{n \\ 2}\bruch{1}{n^2}[/mm]
>
> [mm]f_n[/mm] = [mm]\produkt_{k=2}^{n}(1-\bruch{1}{k^2}[/mm]
>
> hi
> ich würde euch gerne nur bitten mir paar tips zur lösung
> geben!
Erkennst du bei der Folge [mm] $a_n$ [/mm] den Ausdruck im Exponenten wieder?
Dann siehst du, dass es für beliebiges n eine natürliche Zahl ist
Schreibe dir mal ein paar Folgenglieder von [mm] $a_n$ [/mm] hin ...
Dann siehst du, dass die Folge immer die Werte (-1) und 1 annimmt, es gibt also 2 Teilfolgen (diejenigen, für die dieser Exponent gerade bzw. ungerade wird), die gegen unterschiedliche Werte, nämlich +1 und -1 konvergieren.
Damit muss deine Folge divergent sein
Bei [mm] $b_n$ [/mm] vereinfache mal, was ist denn [mm] $\vektor{n\\2}$?
[/mm]
Danach geht's schnell
Bei [mm] $f_n$ [/mm] zeige mit Induktion, dass [mm] $\forall n\ge [/mm] 2$ gilt: [mm] $\prod\limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\frac{n+1}{2n}$ [/mm]
Dann ist es ein Klacks
> und vll eine web adresse wo die reihen und folgen bissle
> erklärt werden denn die check ich atm nicht gerade gut
weiß ich gerade nicht ..> schaue bei google vorbei!
>
> DANKE
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Sa 29.11.2008 | | Autor: | zlatko |
hi und danke :D
bei 1) ist es also abhängig davon ob die potenz gerade oder ungerade ist
die 2) muss ich nochmal dann nachrechen
nochmal zu der 3)
ich muss nur per induktion beweisen das der teil unter dem bruch schneller wächst als über?
gruß
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Hallo nochmal,
> hi und danke :D
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> bei 1) ist es also abhängig davon ob die potenz gerade oder
> ungerade ist
Ja, die Folge tüdelt immer hin- und her zwischen -1 und 1
>
> die 2) muss ich nochmal dann nachrechen
Ja, schaue dir an, wie der Binomialkoeffizient definiert ist
>
> nochmal zu der 3)
>
> ich muss nur per induktion beweisen das der teil unter dem
> bruch schneller wächst als über?
Hmm, ich meinte, du sollst zeigen, dass du anstatt dieses Produktausdruckes auch den Ausdruck [mm] $\frac{n+1}{2n}$ [/mm] schreiben kannst (das geht per vollst. Induktion)
Damit ist die Aussage gleichwertig zum Konvergenznachweis von [mm] $\tilde{f}_n=\frac{n+1}{2n}$
[/mm]
Und das ist ja kein Problem, klammere im Zähler und im Nenner jeweils n aus und kürze es, dann schau dir an, was für [mm] $n\to\infty$ [/mm] passiert
Aber die Gleichheit von [mm] $\prod\limits_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)$ [/mm] und [mm] $\frac{n+1}{2n}$ [/mm] ist das Entscheidende und auch das EInzige, was etwas Arbeit macht
>
> gruß
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schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Sa 29.11.2008 | | Autor: | zlatko |
ok vielen dank!
:D schönen abend noch!
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